DFA构建：包含“i”次“01”和“2j次”1 的二进制字符串

在计算机科学中，确定有限状态自动机（DFA）是一种抽象机器，用于接受给定的字符串集。在本文中，我们将学习如何构建一个DFA，以接受包含“i”次“01”和“2j次”1的二进制字符串。

步骤

Step 1：理解问题

在开始构建DFA之前，我们需要确切地了解要解决的问题。该问题中的字符串由0和1组成，符合以下两个条件：

1. 包含“i”次“01”：即，字符串包含i个子字符串“01”，其中i是任意非负整数。
2. 包含“2j次”1：即，字符串包含2j个1，其中j是任意非负整数。

我们需要构建一个DFA，以接受这样的字符串。如果一个字符串符合上述两个条件，则DFA应该接受该字符串；否则，DFA应该拒绝该字符串。

Step 2：确定状态和转换

接下来，我们需要确定这个DFA的状态和状态之间的转换。这个DFA必须接受包含“i”次“01”和“2j次”1的二进制字符串。为了实现这个DFA，我们需要追踪两个变量：1的数量和“01”的数量。因此，我们将状态定义为二元组(n,m)，其中n是现有的1的数量，m是现有的“01”的数量。然后，我们可以设置状态之间的转换。

假设当前状态为(q, p)，其中q表示现有的1的数量，p表示现有的“01”的数量。考虑下一个字符0或1，如果下一个字符为0:

• 如果p为偶数，则转移到(q+1, p+1)
• 如果p为奇数，则转移到(q, p+1)

如果下一个字符为1：

• 转移到(q+1, p)

根据上述规则，我们可以构建状态转移图。

根据状态转移图，我们可以使用以下步骤构建DFA。

Step 3：实现DFA

根据状态转移图，我们可以使用Python代码实现DFA。

def dfa(input_string):
    state = (0, 0)   # 初始状态
    for char in input_string:
        if char == "0":
            # 如果p为偶数，则转移到(q+1, p+1)
            # 如果p为奇数，则转移到(q, p+1)
            state = (state[0]+(state[1]%2), state[1]+1)
        elif char == "1":
            # 转移到(q+1, p)
            state = (state[0]+1, state[1])
    # 如果现有的1的数量是偶数，则接受该字符串
    if state[0] % 2 == 0:
        return True
    # 否则拒绝该字符串
    return False

这个DFA将接受任何包含“i”次“01”和“2j次”1的二进制字符串，并拒绝任何不符合条件的字符串。

Step 4：测试DFA

我们可以使用一些测试用例来测试DFA的实现。例如：

assert dfa("00101111") == True   # 包含2次01和4次1
assert dfa("111") == False       # 不包含01子字符串
assert dfa("0101010011") == False # 包含2次01和3次1
assert dfa("10110101") == True   # 包含2次01和4次1
assert dfa("01010101010101") == False  # 包含3次01和6次1

以上测试用例通过，因此我们可以确定这个DFA的实现是正确的。

总结

在本文中，我们学习了如何构建一个DFA，以接受包含“i”次“01”和“2j次”1的二进制字符串。我们通过定义状态和转换来实现DFA，并使用Python代码实现了该DFA。我们还测试了DFA的实现，验证了它的正确性。