前 N 个自然数的排列

在计算机科学中，前 N 个自然数的排列是一个经常用到的问题。在这个问题中，我们要求给定一个数组作为前缀的最大数组，然后构造前 N 个自然数的排列。在下文中，我们将介绍解决这个问题的一些方法和技巧。

解法一：暴力枚举

最简单的解决方法是暴力枚举。首先，我们需要找到给定数组的最大值。然后，我们从 1 到 N 枚举每一个数字，如果该数字小于最大值并且没有出现在数组中，则将该数字加入排列中。

代码实现如下：

def permutation(prefix, N):
    max_val = max(prefix)
    res = []
    for i in range(1, N+1):
        if i <= max_val and i not in prefix:
            res.append(i)
    return res

该算法的时间复杂度为 $O(N^2)$，在 N 很大的时候不适用。

解法二：标记法

为了避免重复扫描数组，我们可以通过标记法先处理数组，然后构造排列。我们可以使用一个布尔数组来记录哪些数字出现了。具体实现如下：

def permutation(prefix, N):
    max_val = max(prefix)
    appeared = [False] * (max_val + 1)
    for num in prefix:
        appeared[num] = True
    res = []
    for i in range(1, N+1):
        if not appeared[i]:
            res.append(i)
    return res

该算法的时间复杂度为 $O(N)$。

解法三：排序法

我们可以将给定数组排序，然后依次加入前 N 个自然数。具体实现如下：

def permutation(prefix, N):
    res = []
    for i in range(1, N + 1):
        res.append(i)
    prefix.sort(reverse=True)
    for num in prefix:
        res.insert(num-1, num)
    return res

该算法的时间复杂度为 $O(N\log N)$。

总结

以上是解决给定数组作为前缀最大数组的前 N 个自然数的排列的三种方法。暴力枚举虽然简单粗暴，但时间复杂度很高，不适用于大规模数据。标记法和排序法的时间复杂度都较低，但需要更多的空间。实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法。