从给定的前缀和数组中查找原始数组

在计算机科学中，前缀和是指将一个序列的每个位置上的前缀的和都预先计算出来形成一个新的序列的方法。前缀和可以用于优化某些算法，如动态规划和区间求和等问题。但在实际应用中，往往需要根据前缀和计算原始数组，即已知前缀和数组 prefix_sum，求出原始数组 arr，使得 prefix_sum[i] = sum(arr[0], arr[1], ..., arr[i])。

下面介绍两种常用的通过前缀和数组计算原始数组的方法。假设给定的前缀和数组为 prefix_sum，长度为 n，原始数组为 arr。

方法一：暴力算法

暴力算法的思路是对于每个位置 i，分别计算 arr[i] = prefix_sum[i] - prefix_sum[i-1]，其中 prefix_sum[-1] = 0。具体实现如下：

arr = [0] * n
arr[0] = prefix_sum[0]
for i in range(1, n):
    arr[i] = prefix_sum[i] - prefix_sum[i-1]

这种算法的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$。当前缀和数组较小的时候可以使用。

方法二：差分算法

差分算法的思路是利用前缀和数组计算原始数组的差分数组，然后再反推得到原始数组。差分数组是原始数组的相邻元素之差，即 diff[i] = arr[i] - arr[i-1]，其中 diff[0] = arr[0]。因此可以根据差分数组得到原始数组：arr[i] = sum(diff[0], diff[1], ..., diff[i])。

具体实现如下：

arr = [0] * n
arr[0] = prefix_sum[0]
for i in range(1, n):
    arr[i] = prefix_sum[i] - prefix_sum[i-1]

for i in range(1, n):
    arr[i] += arr[i-1]

这种算法的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$。由于计算差分数组和反推原始数组是两个独立的步骤，因此这种算法比暴力算法更加灵活和通用。

以上就是从给定的前缀和数组中查找原始数组的两种常用方法。