检查素数是否可以表示为两个素数之和

本文将介绍一个检查一个正整数是否可以表示为两个素数之和的算法。该算法的思路是，首先筛选出一定范围内的素数，并将它们保存在一个集合中。然后，对于每个需要检查的正整数，我们通过遍历素数集合，检查该正整数是否有一个与之匹配的素数对，它们的和等于该正整数。如果找到了这样的素数对，那么该正整数就可以表示为两个素数之和。

实现思路

本算法的实现思路如下：

1. 对于待检查的正整数 n，我们需要找到一定范围内的素数。由于正整数 n 可能非常大，为了提高效率，我们可以先查找小于等于 $\sqrt{n}$ 的素数。

2. 首先，我们需要判断一个正整数是否是素数。请参考下面的代码片段：

def is_prime(n: int) -> bool:
    """
    Return True if n is prime, False otherwise.
    """
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

该函数接受一个正整数 n，如果 n 是素数，则返回 True，否则返回 False。该函数的实现原理是，我们从2到$\sqrt{n}$之间的每个正整数 i，检查 n 是否能够被 i 整除。如果能够被整除，则 n 不是素数，否则 n 是素数。

3. 接下来，我们需要筛选出一定范围内的素数，并将它们保存在一个集合中。请参考下面的代码片段：

def find_primes(n: int) -> set:
    """
    Return a set of primes less than or equal to n.
    """
    primes = set()
    for i in range(2, n + 1):
        if is_prime(i):
            primes.add(i)
    return primes

该函数接受一个正整数 n，返回一个不大于 n 的素数集合。该函数的实现原理是，我们从2到 n 之间的每个正整数 i，通过调用 is_prime 函数来判断 i 是否为素数。如果 i 是素数，则将其添加到 primes 集合中。

4. 最后，我们对于每个需要检查的正整数 n，遍历素数集合 primes，检查是否存在素数 i 和 j，使得 i+j=n，并返回检查结果。请参考下面的代码片段：

def can_be_written_as_sum_of_two_primes(n: int, primes: set) -> bool:
    """
    Return True if n can be written as the sum of two primes in set primes, False otherwise.
    """
    for prime in primes:
        if prime > n:
            break
        if n - prime in primes:
            return True
    return False

该函数接受两个参数，一个正整数 n 和一个素数集合 primes。该函数遍历素数集合 primes，检查是否存在两个素数 i 和 j，满足 i+j=n。如果找到了这样的素数对，那么该正整数 n 可以表示为两个素数之和，函数返回 True。否则，函数返回 False。

代码实现

本算法的完整代码实现如下：

def is_prime(n: int) -> bool:
    """
    Return True if n is prime, False otherwise.
    """
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True
  
  
def find_primes(n: int) -> set:
    """
    Return a set of primes less than or equal to n.
    """
    primes = set()
    for i in range(2, n + 1):
        if is_prime(i):
            primes.add(i)
    return primes


def can_be_written_as_sum_of_two_primes(n: int, primes: set) -> bool:
    """
    Return True if n can be written as the sum of two primes in set primes, False otherwise.
    """
    for prime in primes:
        if prime > n:
            break
        if n - prime in primes:
            return True
    return False

总结

本算法通过使用素数筛选的方式，快速地寻找小于等于$\sqrt{n}$的素数，并将其保存在一个集合中。然后，对于每个需要检查的正整数，我们遍历素数集合，检查该正整数是否有一个与之匹配的素数对，它们的和等于该正整数。如果找到了这样的素数对，那么该正整数就可以表示为两个素数之和。

该算法的时间复杂度约为 $O(n^{3/2})$，其中 n 是待检查的最大正整数。虽然该算法的效率较高，并且可以应用于大部分正整数。但是，对于非常大的正整数（例如超过一百万），该算法可能会变得相当缓慢，因为它需要查找的素数数量可能非常大。在这种情况下，我们可能需要使用更复杂的算法，例如Miller-Rabin素性测试或AKS素性测试算法。