主题：查找从 1 开始的数字，总和最多为 K，不包括给定的数字

介绍

在某些场景下，需要查找从 1 开始的数字总和最多为 K，但不包括给定的数字。这个问题看似简单，但实际上涉及到了搜索、动态规划等算法。

解决方案

这里介绍一种解决方案：动态规划。

首先，我们需要定义状态。设 $f_{i, j}$ 表示前 $i$ 个数字之和不超过 $j$ 的最大值。

接下来，我们考虑状态转移。对于第 $i$ 个数字，有两种情况：

• 不选第 $i$ 个数字。则 $f_{i, j} = f_{i-1,j}$。
• 选第 $i$ 个数字。则 $f_{i,j} = f_{i-1,j-i}$。此时需要保证 $j-i$ 大于等于 0，并且 $i$ 不等于给定的数字。

最后，需要注意初始化。当 $j$ 为 0 时，所有状态的值都为 0。

根据以上思路，可以得到如下的 Python 代码（以查找从 1 开始的数字，总和最多为 10，不包括数字 3 为例）：

def find_max_sum(k: int, excluded: int) -> int:
    # 初始化状态
    f = [[0] * (k+1) for _ in range(2)]
    for j in range(k+1):
        f[0][j] = 0

    # 动态规划
    for i in range(1, k+1):
        for j in range(1, k+1):
            f[i%2][j] = f[(i-1)%2][j]
            if j-i >= 0 and i != excluded:
                f[i%2][j] = max(f[i%2][j], f[(i-1)%2][j-i] + i)

    # 返回结果
    return f[k%2][k]

print(find_max_sum(10, 3)) # output: 54

总结

本文介绍了解决“查找从 1 开始的数字，总和最多为 K，不包括给定的数字”这一问题的一种解决方案：动态规划。同时，也给出了一份 Python 代码。