在图中检查长度为3的循环

简介

检查在满足给定条件的图中是否存在长度为3的循环是图论领域中经典的问题之一。该问题的解法包括基于深度优先搜索和广度优先搜索的算法。在此我们将介绍如何使用基于深度优先搜索实现该问题的解法。

算法

深度优先搜索是一种递归的算法，用于遍历或搜索树或图的数据结构。该算法从某个点出发，以深度优先的方式访问所有可达节点，直到所有节点都被访问为止。在此我们将描述如何使用深度优先搜索算法来检查长度为3的循环。

算法步骤

1. 将第一个节点标记为已访问，并将其加入到栈中。
2. 对于栈顶元素，访问所有与其相邻且未被访问的节点。
   • 如果访问到已经访问过的节点，则说明找到了长度为3的循环。
   • 如果所有相邻节点都已被访问，则从栈中弹出该节点。
3. 重复步骤2，直到栈为空。

算法实现

以下是使用 Python 实现的算法代码片段：

def has_cycle(graph):
    """
    检查图中是否存在长度为3的循环
    """
    visited = set()  # 已访问的节点
    for node in graph:
        if node not in visited:
            stack = [(node, None)]  # (节点, 来源节点) 的栈
            while stack:
                current, source = stack.pop()
                visited.add(current)
                for neighbor in graph[current]:
                    if neighbor == source:
                        continue  # 避免回到源节点
                    if neighbor in visited:
                        return True
                    stack.append((neighbor, current))
    return False

算法复杂度

由于该算法需要遍历图中所有节点和边，因此其时间复杂度为 $O(|V| + |E|)$，其中 $|V|$ 表示图中节点的数量，$|E|$ 表示图中边的数量。同时，该算法需要使用一个栈和一个集合来存储已访问的节点和当前的搜索路径，因此其空间复杂度为 $O(|V|)$。

结论

在满足给定条件的图中，如果存在长度为3的循环，使用上述算法可以在 $O(|V| + |E|)$ 的时间内检测出来。