门| GATE CS 2018 |第 63 题-介绍

这道题目是一道关于线性代数中的矩阵计算的问题。题目描述如下：

给出一个矩阵 $A$ ，和一个值 $k$，求 $A^k$（也就是矩阵 $A$ 的 $k$ 次方）。

这道题目可以用多种方法来解，其中最常用的就是利用矩阵的幂运算和矩阵的特征值分解。

代码实现

我们首先要定义一个函数，用来计算矩阵的幂运算。代码实现如下：

def matrix_pow(matrix, k):
    # 如果 k 等于 0，返回单位矩阵
    if k == 0:
        return np.eye(len(matrix))
    # 计算 matrix 的一半与 k//2 的幂
    half = matrix_pow(matrix, k // 2)
    # 如果 k 是奇数，需要多乘以一个 matrix
    if k % 2 == 1:
        return np.dot(np.dot(half, half), matrix)
    else:
        return np.dot(half, half)

这个函数接受两个参数，一个是要进行幂运算的矩阵，另一个是幂的次数。函数返回值是计算出的结果矩阵。

接下来，我们可以调用这个函数来计算 $A^k$。代码实现如下：

import numpy as np

# 指定矩阵 A 和幂的次数 k
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
k = 3

# 调用 matrix_pow 函数计算 A 的 k 次方
result = matrix_pow(A, k)

# 打印计算结果
print(result)

这个代码片段在 Python 中运行，首先定义了一个名为 A 的 2x2 的矩阵，并指定了幂的次数 k 为 3。接着，我们调用了上面定义的 matrix_pow 函数来计算 $A^3$ 的结果，最后将计算出的矩阵打印出来。

输出结果为：

[[ 37  54]
 [ 81 118]]

这个结果就是矩阵 $A$ 的 $k$ 次方，也就是 $A^3$。

总结

这道题目考察了我们对矩阵幂运算的理解和掌握程度。我们可以利用矩阵的特征值分解等数学知识来解决类似的问题，更好地掌握这个知识点。