使用给定操作形成的精简数组的最小长度

在某些情况下，我们需要对给定数组进行操作使其变得更加精简，或者说去除一些冗余的元素。本文主要介绍如何使用给定操作形成的精简数组的最小长度。

问题描述

给定一个整数数组 nums，以及一组操作（可重复使用）：

• 如果 nums[i] 是偶数，则可以将其除以 2。
• 如果连续存在两个奇数元素，则可以删除其中的一个。

问：在不改变数组顺序的情况下，经过上述操作后的最小长度是多少？

解决方案

使用动态规划的思想来解决这个问题。我们记录一个长度为 n 的数组 dp，其中 dp[i] 表示经过一系列操作后，以 nums[i] 结尾的最短的原数组长度。则最终解为 min(dp)。

我们从前往后计算 dp 数组的每个元素，转移方程如下：

• 如果 nums[i] 是偶数，则 dp[i] = dp[i/2]。

• 否则，我们需要从前面的元素中找到一个奇数元素，然后删掉一个。我们从 dp[0] 到 dp[i-2] 中找到第一个满足以下条件的位置 j：

  • nums[j] 是奇数且 nums[j+1] 也是奇数。
  • 对于所有 k，j < k < i，nums[k] 都是偶数。

  删掉 j 或者 j+1 的其中一个，再将 dp[i] 赋值为 dp[j] + (i - j - 1)。

最后，我们得到的就是以 nums 中每个元素结尾的最短原数组长度，我们只需要取其中的最小值即可。

下面是 Python 代码片段实现：

def min_length(nums):
    n = len(nums)
    dp = [i+1 for i in range(n)]  # 初始化 dp 数组

    for i in range(n):
        if nums[i] % 2 == 0:
            dp[i] = dp[i//2]
        else:
            for j in range(i-1, -1, -1):
                if nums[j] % 2 != 0 and nums[j+1] % 2 != 0:
                    if all(nums[k] % 2 == 0 for k in range(j+2, i)):
                        dp[i] = dp[j] + (i-j-1)
                        break

    return min(dp)

该函数的时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n)。

总结

本文介绍了如何使用动态规划的思想，求解给定操作形成的精简数组的最小长度。这个问题的难点在于如果找到前面的奇数元素来删除，需要同时满足一定的限制条件。我们可以使用一个 dp 数组来记录以每个元素结尾的最短原数组长度，然后取其中的最小值。当然，这只是其中的一种解法，读者也可以思考出其他的解法。