对前 N 个数字的数组进行排序所需的最小交换次数

在排序算法中，交换是一种常见的操作。在对数组进行排序时，为了保证排序结果的正确性，可能需要进行多次交换操作。本文将介绍如何计算对前 N 个数字的数组进行排序所需的最小交换次数。

问题描述

假设有一个长度为 N 的数组 A，其中存储着前 N 个数字。对 A 进行排序的具体步骤不需要考虑，我们只需要知道完成排序所需的最少交换次数。

例如，对于数组 A=[4, 3, 1, 2]，需要进行的交换次数最少为 2，即将 A[0] 和 A[1]、A[2] 和 A[3] 交换位置。

解决方案

要解决这个问题，一个直观的想法是使用排序算法对数组进行排序，然后统计交换次数。但这样做的时间复杂度可能达到 O(N^2)，并不是最优的解决方式。

由于本题只关注最小交换次数，我们可以转换一下思路，尝试从已经排好序的数组出发，计算出每个数字与其正确位置之间的距离，然后把这些距离加起来。这个过程类似于计算逆序对的个数，但是比计算逆序对要简单。

具体步骤如下：

1. 复制原数组 A，得到一个排好序的数组 B；
2. 对数组 B 内的每个数字 i，记录其在数组 A 中的正确位置 pos[i]；
3. 对数组 B 进行循环，统计每个数字 i 和其正确位置 pos[i] 之间的距离差，即 sum += abs(i - pos[i])。

最后得到的 sum 即为对前 N 个数字的数组进行排序所需的最小交换次数。

示例代码

下面是一个实现上述算法的 Python 代码片段：

def min_swaps(nums):
    N = len(nums)
    sorted_nums = sorted(nums)
    pos = {num: i for i, num in enumerate(sorted_nums)}
    visited = [False] * N
    ans = 0
    for i in range(N):
        if visited[i] or nums[i] == sorted_nums[i]:
            continue
        cycle_size, j = 0, i
        while not visited[j]:
            visited[j] = True
            j = pos[nums[j]]
            cycle_size += 1
        if cycle_size > 0:
            ans += cycle_size - 1
    return ans

该函数的时间复杂度为 O(NlogN)，空间复杂度为 O(N)，可以通过本题的测试数据。