小于或等于给定整数的2的最高幂

介绍

本篇文章主要介绍如何找到小于或等于给定整数的2的最高幂。

具体来说，我们需要找到一个最大的数x，使得$2^x$不大于给定整数n。

解法

解法一

最简单的方法是暴力枚举，从大到小枚举x，直到找到第一个$2^x$不大于n的x，如下：

def find_max_power_of_two(n: int) -> int:
    x = 0
    while 2 ** x <= n:
        x += 1
    return x - 1

该解法的时间复杂度为O(logn)，由于x较小时，该解法还是比较快的。

解法二

更高效的一种方法是利用二分查找的思想。

我们先考虑一个子问题：如何判断x是否是小于或等于给定整数n的2的最高幂？

我们可以观察到，对于任意的x，$2^x$都是一个递增的序列，因此，如果x是小于或等于给定整数n的2的最高幂，那么n必须满足以下两个条件之一：

1. $2^{x-1}$不大于n，$2^x$大于n。

2. $2^{x-1}$不大于n，$2^x$等于n。

因此，我们可以利用这个性质，通过二分查找找到x。

具体来说，我们使用两个指针left和right来表示当前搜索区间的左右端点，每次将搜索区间缩小一半，直到left和right相同，此时x就是小于或等于给定整数n的2的最高幂。

代码如下：

def find_max_power_of_two(n: int) -> int:
    left, right = 0, n
    while left < right:
        mid = (left + right + 1) // 2
        if 2 ** mid <= n:
            left = mid
        else:
            right = mid - 1
    return left

该解法的时间复杂度为O(logn)，是最优解法。

总结

本篇文章介绍了如何找到小于或等于给定整数的2的最高幂，提供了两种解法，其中解法二使用了二分查找，时间复杂度为O(logn)，是最优解法。