C/C++程序查找给定范围之间的素数

素数是只能被1和自身整除的正整数，本文将介绍如何使用C/C++编程查找给定范围之间的素数。

算法思路

最简单的方法是对于每一个数，从2到其自身减一，判断有没有能够整除它的数。但是这种方法时间效率很低，无法处理大数。常见的优化算法有：

1. Trial Division （试除法）

试除法是最基本的素数判断方法，它的原理是如果一个数能被整除，那么它只能被小于等于它的数整除。

实现思路是：枚举每个数i，从2到i/2，看i是否有整除数。

2. Eratosthenes （埃拉托斯特尼筛法）

埃拉托斯特尼筛法的原理是将小于等于一个数的所有素数找出来，然后再筛去这些素数的倍数，剩下的数即为素数。

实现思路是：将小于等于n的所有数先标记为合数，然后从2开始枚举每个素数，将其倍数标记为不是素数。最终，剩下的标记为合数的数就是素数。

3. Miller-Rabin （米勒 - 罗宾）

Miller-Rabin算法是一种基于概率的算法，它可以快速地判断一个数是否为素数。

实现思路是：对于一个大数n，它是一个合数可能性很高，我们可以选择一些随机的底数a，判断它是否是n的一次方或平方的余数。经过多次测试后，如果每次测试结果都表明n是素数，那么n就极有可能是素数。

代码实现

在本文代码实现中，我们主要采用了试除法和埃拉托斯特尼筛法两种算法。

试除法实现

#include <cstdio>
#include <cstdlib>

// 判断是否为素数，1表示是，0表示否
int is_prime(int n) 
{
    if (n == 1) {
        return 0; // 1不是素数
    }
    for (int i = 2; i <= n / 2; i++) {
        if (n % i == 0) {
            return 0; // 可以被整除，不是素数
        }
    }
    return 1;
}

int main()
{
    int lower, upper;

    printf("请输入范围：\n");
    printf("下界：");
    scanf("%d", &lower);
    printf("上界：");
    scanf("%d", &upper);

    for (int i = lower; i <= upper; i++) {
        if (is_prime(i)) {
            printf("%d ", i);
        }
    }

    printf("\n");

    return 0;
}

埃拉托斯特尼筛法实现

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>

// 判断是否为素数，1表示是，0表示否
int is_prime(int n, int *prime, int len) 
{
    for (int i = 0; i < len && prime[i] <= sqrt(n); i++) {
        if (n % prime[i] == 0) {
            return 0; // 可以被整除，不是素数
        }
    }
    return 1;
}

// 埃拉托斯特尼筛法，返回素数的个数
int eratosthenes(int upper, int *prime) 
{
    int cnt = 0;
    char *flag = new char[upper + 1];
    memset(flag, 0, sizeof(char) * (upper + 1));
    for (int i = 2; i <= upper; i++) {
        if (!flag[i]) {
            prime[cnt++] = i;
            for (int j = i + i; j <= upper; j += i) {
                flag[j] = 1;
            }
        }
    }
    delete[] flag;
    return cnt;
}

int main()
{
    int lower, upper;

    printf("请输入范围：\n");
    printf("下界：");
    scanf("%d", &lower);
    printf("上界：");
    scanf("%d", &upper);

    int *prime = new int[upper + 1]; // 保存素数
    int cnt = eratosthenes(upper, prime);

    for (int i = lower; i <= upper; i++) {
        if (is_prime(i, prime, cnt)) {
            printf("%d ", i);
        }
    }

    printf("\n");

    delete[] prime;

    return 0;
}

总结

本文介绍了基本的素数判断算法和优化算法，并给出了C/C++代码实现。优化算法在处理大数时效率更高，特别是埃拉托斯特尼筛法，时间复杂度为O(nloglogn)，空间复杂度为O(n)。科学计算中常常需要大量素数，因此掌握算法对于科研类开发人员具有重要意义。