查找第 N 个素数

在计算机科学中，"素数"是指只能被 1 和其本身整除的正整数。本文介绍了如何编写一个程序来查找给定的第 N 个素数。

算法思路

我们可以通过枚举从 2 开始的每个正整数，检查该数是否为素数，如果是，则计数器加 1，直到找到第 N 个素数为止。但这种算法效率很低，因为对于每个数都需要进行多次素性测试。更好的方法是使用 "埃氏筛法" 或 "欧拉筛法"。

埃氏筛法

埃氏筛法（Sieve of Eratosthenes）是一种简单直观的质数筛法。它的基本思想是：从 2 开始，将每个质数的倍数都标记成合数，以达到筛选素数的目的。

实现此算法，可以借助一个长度为 n 的布尔数组，按顺序标识每个数字是否为素数。从小到大依次遍历每个数字，如果它是素数，则将其倍数标记成合数。最后，数组中所有未被标记成合数的数字即为素数。

欧拉筛法

欧拉筛法（Sieve of Euler）是对埃氏筛法的一个优化。它通过维护一个 "质数表" 和一个 "最小质因子表" 来避免重复标记，提高了效率。

具体来说，我们从小到大依次枚举每个数字，如果该数字还未被标记为合数，则将其加入质数表中，同时将其所有质因子标记为合数。对于每个合数 x，其最小质因子是 p，可以使用如下公式更新它的最小质因子：minp[x * p] = p。因为 p 是 x 的最小质因子，x * p 已经被标记为合数，且不会被其他质数的倍数所覆盖。

代码实现

下面是使用欧拉筛法查找第 N 个素数的 Python 代码实现：

def nth_prime(n):
    primes = []
    minp = [0] * (n + 1)
    for i in range(2, n + 1):
        if minp[i] == 0:
            primes.append(i)
            minp[i] = i
        for p in primes:
            if p > minp[i] or i * p > n:
                break
            minp[i * p] = p
    return primes[-1]

该函数接受一个整数参数 n，返回第 n 个素数。它使用了一个名为 primes 的列表来存储已知的素数，以及一个名为 minp 的数组来记录每个合数的最小质因子。函数从 2 开始遍历每个数字，并按照上述算法进行筛选，直到找到第 n 个素数为止。

性能分析

欧拉筛法的时间复杂度为 O(n)，可以较快地查找到较小的素数。但它需要维护额外的数据结构，增加了空间复杂度。对于查找大的素数（例如大于 1000 万），可能需要使用更高效的算法（例如 "米勒-拉宾素数测试"）。