大小为K的所有子阵列的GCD

介绍

在需要对一个数组中的所有子阵列求最大公约数时，可以利用欧几里得算法来实现，但是当数组较大时，该方法的复杂度变得很高。因此，可以借鉴RMQ算法（最小值查询算法）的思想，使用预处理的 ST 表（Sparse Table）来进行查询。

下面将介绍如何使用 ST 表实现时间复杂度为 O(nlog(n)) 的算法来求一个数组中所有大小为 k 的子阵列的 GCD。

实现

无预处理

首先，我们来通过暴力实现该算法，代码如下：

def gcd(arr):
    res = arr[0]
    for i in range(1, len(arr)):
        res = math.gcd(res, arr[i])
    return res

def subarrays(arr, k):
    res = []
    for i in range(len(arr) - k + 1):
        subarray = arr[i:i+k]
        res.append(gcd(subarray))
    return res

该算法中，我们首先定义了一个 $gcd$ 函数，实现了数组的最大公约数计算；随后，我们定义了一个 $subarrays$ 函数，用于遍历数组的所有大小为 k 的子阵列，并将结果存放在一个数组中。

该算法的时间复杂度为 $O(nk)$，该算法具有较高的时间复杂度，因此，需要使用更有效的算法。

预处理

接下来，我们通过预处理实现 ST 表来进一步优化算法。对于数组中的每个下标，我们会计算该下标开始的长度为 k 的子阵列的 GCD 值。预处理完数组后，我们可以利用 ST 表查询任意一个子阵列的 GCD 值。使用 ST 表可以使查询时间降至 $O(1)$。

下面是代码实现：

import math

class SparseTable:
    
    def __init__(self, arr):
        self.arr = arr
        self.n = len(arr)
        self.sp = [[0 for i in range(32 - int(math.log2(j)))] for j in range(self.n)]
        self.build()
  
    def build(self):
        for i in range(self.n):
            self.sp[i][0] = self.arr[i]
        for j in range(1, len(self.sp[0])):
            for i in range(self.n - (1 << j) + 1):
                self.sp[i][j] = math.gcd(self.sp[i][j-1], self.sp[i+(1<<(j-1))][j-1])

    def query(self, i, j):
        q = int(math.log2(j-i+1))
        return math.gcd(self.sp[i][q], self.sp[j-(1<<q)+1][q])

def subarrays(arr, k):
    gcd_arr = [0]*len(arr)
    for i in range(len(arr)-k+1):
        gcd_arr[i] = math.gcd(arr[i], arr[i+k-1])
    st = SparseTable(gcd_arr)
    res = [st.query(i, i+k-1) for i in range(len(arr)-k+1)]
    return res

在上述代码中，我们首先定义了一个名为 $SparseTable$ 的类，用于构建 ST 表。该类中，我们定义了一个用于计算数组各部分之间的 GCD 值的构造函数 $build$。 在预处理方法中，我们建立了一个新数组 $gcd_arr$ 并计算它的 GCD 值，然后将该数组的 GCD 值传递给我们的 $SparseTable$ 类，以便构建 ST 表。

随后，我们定义了 $subarrays$ 函数，用于遍历数组并计算 GCD 值。最后我们将结果存储在一个数组中并返回。

总结

在该篇文章中，我们介绍了如何使用 ST 表实现时间复杂度为 O(nlog(n)) 的算法来求一个数组中所有大小为 k 的子阵列的 GCD。ST 表计算 GCD 值的时间复杂度为 O(nlogn)，查询时间复杂度为 O(1)。该算法具有相对较低的时间复杂度，并具有较高的效率。