计算所有子阵列上的GCD之和

在计算机编程中，经常会遇到需要找出多个数中的最大公约数（GCD）的情况。而对于一个数组，可以将其所有子数组的GCD求和，得到一个和值作为问题的答案。

算法

最简单的方法是枚举所有子数组，计算它们的GCD并把结果相加。然而，这种方法的时间复杂度为 $O(n^3)$，无法应对大规模数据的情况。因此，我们需要优化算法。

我们可以使用欧几里得算法（辗转相除法）来求两个数的最大公约数。具体而言，假设 $a>b$，则有：

$$ \gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b) $$

这个递归式的最终结果即为 $b$。我们可以使用这个递归式来计算一个数组的GCD，即：

def gcd_array(arr, size):
    if size == 1:
        return arr[0]
    else:
        return gcd(arr[size-1], gcd_array(arr, size-1))

这个函数首先检查数组是否只有一个元素，如果是则返回该元素本身；否则递归调用自身，求出除去最后一个元素的子数组的GCD，再用最后一个元素和结果求一次GCD。

接下来，我们来考虑计算所有子数组的GCD和的问题。首先，假设 $GCD[i][j]$ 表示原数组从下标 $i$ 到 $j$ 的子数组的GCD，那么可以得到它的递推式：

$$ GCD[i][j] = \gcd(GCD[i][j-1], a[j]) $$

这个递推式表示当前子数组的GCD等于前一次求GCD的结果和本次加入数组的元素的GCD。这个递推式的初值是 $GCD[i][i] = a[i]$。

有了这个递推式，我们就可以使用动态规划的方式计算所有子数组的GCD之和。具体实现可以参考下面的代码：

def gcd_sum(arr, size):
    GCD = [[0 for x in range(size)] for y in range(size)]
    ans = 0
    for i in range(size):
        GCD[i][i] = arr[i]
        ans += GCD[i][i]
    for i in range(size):
        for j in range(i+1, size):
            GCD[i][j] = gcd(GCD[i][j-1], arr[j])
            ans += GCD[i][j]
    return ans

这个函数首先初始化 $GCD$ 数组，将对角线上的元素赋成原数组中的对应元素，同时将答案初始化为数组所有元素的和。然后，它使用双重循环计算所有的 $GCD[i][j]$ 和答案。在循环的过程中，为了避免重复计算，我们使用了上面的递推式。

总结

本文介绍了计算一个数组的所有子数组的GCD之和的算法。我们首先使用欧几里得算法计算了一个数组的GCD，然后使用动态规划的方法计算了所有子数组的GCD之和，时间复杂度为 $O(n^2)$。这个算法可以应对大规模数据的情况，是一个比较实用的算法。

Markdown格式的代码片段

# 计算所有子阵列上的GCD之和

在计算机编程中，经常会遇到需要找出多个数中的最大公约数（GCD）的情况。而对于一个数组，可以将其所有子数组的GCD求和，得到一个和值作为问题的答案。

## 算法

最简单的方法是枚举所有子数组，计算它们的GCD并把结果相加。然而，这种方法的时间复杂度为 $O(n^3)$，无法应对大规模数据的情况。因此，我们需要优化算法。

我们可以使用欧几里得算法（辗转相除法）来求两个数的最大公约数。具体而言，假设 $a>b$，则有：

$$
\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)
$$

这个递归式的最终结果即为 $b$。我们可以使用这个递归式来计算一个数组的GCD，即：

```Python
def gcd_array(arr, size):
    if size == 1:
        return arr[0]
    else:
        return gcd(arr[size-1], gcd_array(arr, size-1))

这个函数首先检查数组是否只有一个元素，如果是则返回该元素本身；否则递归调用自身，求出除去最后一个元素的子数组的GCD，再用最后一个元素和结果求一次GCD。

接下来，我们来考虑计算所有子数组的GCD和的问题。首先，假设 $GCD[i][j]$ 表示原数组从下标 $i$ 到 $j$ 的子数组的GCD，那么可以得到它的递推式：

$$ GCD[i][j] = \gcd(GCD[i][j-1], a[j]) $$

这个递推式表示当前子数组的GCD等于前一次求GCD的结果和本次加入数组的元素的GCD。这个递推式的初值是 $GCD[i][i] = a[i]$。

有了这个递推式，我们就可以使用动态规划的方式计算所有子数组的GCD之和。具体实现可以参考下面的代码：

def gcd_sum(arr, size):
    GCD = [[0 for x in range(size)] for y in range(size)]
    ans = 0
    for i in range(size):
        GCD[i][i] = arr[i]
        ans += GCD[i][i]
    for i in range(size):
        for j in range(i+1, size):
            GCD[i][j] = gcd(GCD[i][j-1], arr[j])
            ans += GCD[i][j]
    return ans

这个函数首先初始化 $GCD$ 数组，将对角线上的元素赋成原数组中的对应元素，同时将答案初始化为数组所有元素的和。然后，它使用双重循环计算所有的 $GCD[i][j]$ 和答案。在循环的过程中，为了避免重复计算，我们使用了上面的递推式。

总结

本文介绍了计算一个数组的所有子数组的GCD之和的算法。我们首先使用欧几里得算法计算了一个数组的GCD，然后使用动态规划的方法计算了所有子数组的GCD之和，时间复杂度为 $O(n^2)$。这个算法可以应对大规模数据的情况，是一个比较实用的算法。