从数字1到N形成的递减对的计数

问题描述

给定一个正整数N，计算由数字1到N形成的递减对的数量。 递减对是一对数字（i, j），其中1≤i<j≤N，并且i比j小。例如，当N=5时，具有递减对的集合为{(1,2),(1,3),(1, 4),(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}。

解决方案

思路

考虑数字1到N的所有递减对，我们可以很容易地看出这是一个排列组合问题。 因为对于每个数字i，它可以和前面的所有数字（小于i的数字）组成递减对。所以，对于N个数字的序列，答案将是：

$${N \choose 2} + {N-1 \choose 2} + {N-2 \choose 2} + ... + {3 \choose 2} + {2 \choose 2}$$

算法实现

以下是使用Python编写算法的实现代码：

def count_decreasing_pairs(n):
    pairs = 0
    for i in range(2, n + 1):
        pairs += (i - 1) * (i - 2) // 2
    return pairs

这里，我们遍历从2到N的所有数字，每次计算以i为结尾的递减对的数量，最后将这些数量相加返回。

算法分析

时间复杂度：$O(N)$，其中N是输入数字。因为我们只需要遍历从2到N的数字，所以它是一个线性算法。

空间复杂度：$O(1)$。我们只使用了一个整数变量pairs来存储结果，所以它的空间复杂度为常数。

总结

通过一些简单的排列组合，我们可以很容易地解决数字序列中递减对的计数问题。此算法的时间复杂度为线性的，可以快速处理大量数字的情况。