题目介绍

在 [A[i], B[i]] 范围内具有第 i 个元素的非递减数组的计数。

给定一个长度为 n 的数组 A，以及对应的 B 数组。计算有多少个非空数组 C 满足：

1. C 是非递减的。
2. 对于每个 i，满足 A[i] <= C[i] <= B[i]。

解题思路

为了满足条件 1，我们可以先假设 C 是单调递增的，在这个假设下容易解决问题。

我们先考虑 A 的第一个元素，它必须在 C 的第一个位置。然后考虑 A 的第二个元素，它可能出现在 C 的第二个位置或以后。如果出现在第二个位置，那么 C 的第一个位置就只能填 A[1]，否则可以填任何 A[1] <= x <= B[1] 的值。

类似地，对于每个 i，我们可以找到 C 中第一个大于等于 A[i] 的位置 j，然后将 C[j] 填为 A[i]，C[j+1...n] 可以填任何 A[i] <= x <= B[i] 的值。

这样一来，我们得到了一个 O(nB) 的算法。时间复杂度较大，需要考虑优化。注意到填 C[j+1...n] 中的元素时，它们都大于等于 A[i]，所以它们需要满足的条件比较松，可以依次枚举 B[i]-A[i] 种值，然后判断是否能填入 C 中。这样一来，时间复杂度就优化到了 O(n(B-A))。

代码实现

def count_arrays(A, B):
    MOD = 10**9 + 7
    n = len(A)
    dp = [0] * (n+1)
    dp[0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        s = 0
        for j in range(i-1, -1, -1):
            s = (s + dp[j]) % MOD
            if A[i-1] > B[j]: # 如果 A[i-1] > B[j]，那么 C 中必须有一个元素大于 B[j]，不符合单调递增的条件
                break
            dp[i] = (dp[i] + s) % MOD
    return dp[n]

总结

这道题是一道典型的动态规划题目，需要注意状态转移方程的推导和优化。时间复杂度较高，需要使用一些技巧进行优化。