反转给定数组的子数组以最小化偶数位置的元素总数

问题描述

有一个整数数组 nums，给定一个操作：选择给定数组中的一个子数组 nums[l:r]（l 和 r 分别表示该子数组的左端点和右端点，并且满足 0 <= l <= r < n），然后反转这个子数组中的元素，要求操作后，nums 中偶数位置上的元素总和最小。

解法

首先，我们需要统计原数组 nums 中所有偶数下标元素的和，我们把这个值记为 s0。

然后考虑对原数组进行一次子数组反转操作，对于反转后的数组，我们把偶数下标元素的总和记为 s1。

由于每个偶数下标的元素在反转操作中会被翻转奇数次，因此有两种情况：

• 如果 l 和 r 均为奇数，那么 nums[l:r] 中的所有偶数下标元素在反转操作中不需要翻转。因此，s1 的值和 s0 的值相同。
• 如果 l 和 r 均为偶数，那么 nums[l:r] 中的所有偶数下标元素在反转操作中需要翻转一次。因此，s1 的值比 s0 的值多 nums[l:r] 中偶数下标元素个数个。

综上所述，我们只需要枚举所有子数组并计算出 s1 的值，找到最小的 s1 即可。

代码实现

下面是 Python 代码实现，其中 even_sum 用于统计数组 nums 中偶数下标元素的和，reverse_sum 用于统计反转操作后数组中偶数下标元素的和。

from typing import List

def min_even_sum(nums: List[int]) -> int:
    even_sum = sum(nums[::2])
    n = len(nums)
    reverse_sum = float('inf')
    for l in range(n):
        for r in range(l, n):
            if l % 2 == 0 and r % 2 == 0:
                reverse_sum = min(reverse_sum, even_sum + 2 * (r - l + 1) - 2 * sum(nums[l:r+1]))
    return reverse_sum

性能分析

本算法的时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 是数组的长度。最坏情况下，需要枚举所有子数组，因此时间复杂度为 O(n^2)。空间复杂度为 O(1)，因为只使用了常数级别的额外空间。