N 个点重合所需的最短时间

在程序设计中，经常需要计算多个点聚合在一起所需的时间。本文介绍了一种常用的计算方法。

计算方法

假设有 $n$ 个点，它们的坐标分别为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n)$。为了让这些点重合，需要移动它们。设 $(x_0, y_0)$ 表示移动后所有点的坐标。

则 $(x_0, y_0)$ 可以表示为所有点的平均值，即：

$$x_0 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$$

$$y_0 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i$$

移动时间即为所有点到 $(x_0, y_0)$ 的距离之和。设 $d_i$ 表示点 $(x_i, y_i)$ 到 $(x_0, y_0)$ 的距离，则移动时间为：

$$T = \sum_{i=1}^n d_i = \sum_{i=1}^n \sqrt{(x_i-x_0)^2 + (y_i-y_0)^2}$$

将 $(x_0, y_0)$ 的表达式代入上式，可得：

$$T = \sum_{i=1}^n \sqrt{(x_i-\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n x_j)^2 + (y_i-\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n y_j)^2}$$

这个式子可以使用动态规划或矩阵乘法优化，时间复杂度为 $O(n^2)$ 或 $O(n^3)$。

代码实现

以下是使用动态规划实现的代码：

def shortest_time(n, x, y):
    sx, sy = sum(x), sum(y)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            dp[i][j] = (x[i]-sx/n)**2 + (y[j]-sy/n)**2
            if i > 0:
                dp[i][j] += dp[i-1][j]
            if j > 0:
                dp[i][j] += dp[i][j-1]
            if i > 0 and j > 0:
                dp[i][j] -= dp[i-1][j-1]
    T = 0
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            T += (dp[i][j] - dp[max(i-1, -1)][j] - dp[i][max(j-1, -1)] + dp[max(i-1, -1)][max(j-1, -1)])**0.5
    return T

以下是使用矩阵乘法实现的代码：

import numpy as np

def shortest_time(n, x, y):
    sx, sy = np.sum(x), np.sum(y)
    A = np.array([[x[i]-sx/n for i in range(n)], [y[i]-sy/n for i in range(n)]])
    B = A.T
    C = 2*np.dot(A, B)
    D = np.sum(x**2) + np.sum(y**2) - sx**2/n - sy**2/n
    T = np.sum(np.sqrt(C[i, i]+C[j, j]-2*C[i, j]+D) for i in range(n) for j in range(n))
    return T

以上代码均使用 Python 实现，时间复杂度均为 $O(n^2)$。