打印两个数字的第k个公因子

有时候我们需要找出两个数字的公因子，更进一步的我们也需要知道这些公因子的顺序。本文将介绍找出两个数字的第$k$个公因子的算法。

算法流程

我们可以先把两个数字的所有公因子都求出来，然后再按从小到大的顺序输出第$k$个。具体算法流程如下：

1. 枚举从1到两个数中较小的那个数的所有数$i$，如果$i$能同时被两个数字整除，即$i$是两个数字的公因子，将其加入到一个列表中。

   factors = []
   for i in range(1, min(a, b)+1):
       if a % i == 0 and b % i == 0:
           factors.append(i)
   

2. 对列表中的元素从小到大排序。

   factors = sorted(factors)
   

3. 输出第$k$个元素。注意这里的$k$是从1开始的，所以需要将$k-1$作为列表的下标。

   if k <= len(factors):
       return factors[k-1]
   else:
       return -1
   

完整代码

下面是完整的Python代码：

def kth_factor(a, b, k):
    factors = []
    for i in range(1, min(a, b)+1):
        if a % i == 0 and b % i == 0:
            factors.append(i)

    factors = sorted(factors)

    if k <= len(factors):
        return factors[k-1]
    else:
        return -1

测试代码

我们还需要编写一些测试代码来验证算法的正确性。

assert kth_factor(10, 20, 1) == 1
assert kth_factor(10, 20, 2) == 2
assert kth_factor(10, 20, 3) == 5
assert kth_factor(10, 20, 4) == 10
assert kth_factor(10, 20, 5) == -1

测试代码的含义是分别测试10和20的第1/2/3/4/5个公因子是否分别为1/2/5/10/-1。

总结

本文介绍了如何找出两个数字的第$k$个公因子。该算法时间复杂度为$O(nlogn)$，其中$n$为两个数字的较小值。如果需要多次查询第$k$个公因子，可以考虑预处理出所有公因子的列表再查询，时间复杂度为$O(n)$。