检查所有 Array 元素的 Product 是否为 Perfect Square

在某些应用场景下，我们需要检查一个数组中所有元素的乘积是否为完全平方数。这里提供一种简单的解决方案。

思路

如果一个数是完全平方数，它的所有质因子的指数都是偶数。因此，我们可以遍历数组中所有元素的质因子，并计算每个质因子的指数是否为偶数。如果每个质因子的指数都是偶数，那么乘积就是完全平方数。

代码实现

import collections
import math

def check_perfect_square(arr):
    # 计算数组中每个元素的所有质因子
    factors = collections.defaultdict(int)
    for num in arr:
        for i in range(2, int(math.sqrt(num))+1):
            while num % i == 0:
                factors[i] += 1
                num //= i
        if num > 1:
            factors[num] += 1

    # 检查是否每个质因子的指数都是偶数
    for factor, count in factors.items():
        if count % 2 != 0:
            return False
    return True

# 测试代码
arr = [2, 3, 7, 14]
print(check_perfect_square(arr))  # False
arr = [2, 3, 4, 6]
print(check_perfect_square(arr))  # True

代码解释

1. collections.defaultdict(int) 定义一个默认值为0的字典，用于存储每个质因子的指数。
2. 遍历数组中每个元素，计算出它的所有质因子以及各自的指数，存储到 factors 字典中。
3. 遍历 factors 字典，检查每个质因子的指数是否为偶数。如果有任何一个质因子的指数是奇数，就说明乘积不是完全平方数。
4. 返回检查结果。

性能分析

因为本算法需要遍历所有数组元素的全部质因子，所以时间复杂度为 $O(nk)$，其中 $n$ 是数组元素个数，$k$ 是数组元素的最大质因子数。如果 $k$ 保持不变，那么算法的时间复杂度会随着 $n$ 的增加而线性增长。当然，实际应用中 $k$ 通常较小，所以本算法的时间复杂度应该会比较可接受。