第 K 个字典序最小的二进制字符串，具有 A 0 和 B 1

在计算机科学中，我们经常需要在遵循特定规则的字符串中找到满足一定要求的“下一个/前一个”字符串。这类问题很少有通用解决方案，但是它们的解决方法都涉及计算字典序。

考虑一个长度为n的二进制字符串，取值为0或1，其中0和1分别用字母A和B来替代，那么共有$2^{n}$种可能的字符串，它们按照字典序从小到大排序。例如，当n=2时，按字典序从小到大的字符串分别为AA，AB，BA和BB。

现在，我们试图找到第k个字典序最小的在上述限制下的二进制字符串。这需要一种算法来快速解决问题，并避免暴力枚举所有可能的字符串。

计算字典序

要解决这个问题，必须先计算字典序。要计算字符串的字典序，需要找到两个不同字符串中第一个不同的位置。

例如，假设我们想要比较字符串“ABAB”和“ABBA”。这两个字符串在前两个位置上相同，但在第三个位置上不同。我们知道，在第三个位置上的字符决定了它们之间的字典序大小。

策略

我们可以采用以下策略来解决这个问题：

1. 首先确定第一个字符。如上所述，A的字典序小于B。
2. 然后确定第二个字符。根据贪心的思想，我们应该首先使用有利的字符，这是一个有趣的问题。
3. 用相同的方式继续处理下一个字符，直到我们找到第k个。

解决方案

由于我们想要找到第k个最小的字符串，我们需要动态地构建这个字符串。

以下是一个详细的解决方案：

1. 首先确定第一个字符，肯定是A。
2. 确定第二个字符。我们需要知道，在没有添加其他字符之前，有多少个字符串是以“AA”开始的，有多少个字符串是以“AB”开始的。
   • 如果k <= $2^{n-2}$，那么我们选择“AA”，并将k减去$2^{n-2}$，因为“AA”之后共有$2^{n-2}$种可能的字符串。
   • 否则，我们选择“AB”，并将k减去$2^{n-2}$。由于我们将A添加到“AB”之后，它变成了“ABA”，因此有$2^{n-2}$个字符串已经跳过了。
3. 接下来，我们按照相同的方式计算下一个字符，直到我们找到第k个。
   • 对于当前字符的选择，我们需要检查剩余字符串的数量是否小于当前的“跳过了”的字符串数量。如果是，我们将其添加到字符串末尾并继续处理下一个字符。否则，我们选择添加B以便跳过这些字符串。

在代码实现中，我们将统计的字典序数量转换为二进制位中的数值，然后使用按位 AND 和右移 $1$ 使其除以 $2$。

代码实现

在下面的代码实现中，我们使用一个辅助函数来计算字符串的字典序，该函数返回字符串的数字表示。我们还使用一个辅助函数来计算我们要添加的下一个字符。最后，我们使用一个while循环来动态构建字符串。

def get_lexicographic_value(s):
    return int(s.replace("A", "0").replace("B", "1"), 2)

def get_next_character(n, lexicographic_value, skip):
    if skip <= n // 2:
        return "A", skip
    else:
        return "B", skip - n // 2

def kthSmallestPath(n: int, k: int) -> str:
    current_lexicographic_value = 0
    current_string = ""
    while True:
        if len(current_string) == n:
            return current_string
        next_character, skip = get_next_character(n, current_lexicographic_value, k)
        current_lexicographic_value |= (1 << (n - len(current_string) - 1)) * (next_character == "B")
        current_string += next_character
        k -= skip

复杂度

该算法的时间复杂度是$O(n^2)$。在每个步骤中，我们需要计算最多$O(n)$个字符串的字典序。对于每个字符串，我们需要执行两次常数级别的转换（A/B替换为0或1，数字转换为二进制）和一次常数级别的比较。