定期二进制字符串

定期二进制字符串是指由两个或多个相同的二进制字符串首尾相连而成的字符串。而具有最小周期和给定二进制字符串作为子序列的定期二进制字符串则是一个特殊的定期二进制字符串，其周期最小且包含给定二进制字符串。

例如，对于二进制字符串101，其具有最小周期和101作为子序列的定期二进制字符串为101101。

现在我们需要写一个函数，输入一个二进制字符串，输出其具有最小周期和该字符串作为子序列的定期二进制字符串。

代码示例

def get_minimum_periodic_binary_string(binary_str: str) -> str:
    """
    获取具有最小周期和给定二进制字符串作为子序列的定期二进制字符串
    """
    n = len(binary_str)
    next_arr = [-1] * n
    j = -1
    for i in range(1, n):
        while j >= 0 and binary_str[j + 1] != binary_str[i]:
            j = next_arr[j]
        if binary_str[j + 1] == binary_str[i]:
            j += 1
        next_arr[i] = j
    if next_arr[-1] == -1:
        return binary_str + binary_str  # 如果不存在子序列，则返回原字符串的两倍
    sub_str = binary_str[-1 - next_arr[-1]:]
    return binary_str + sub_str

思路解析

该函数的实现采用了KMP算法的变形，以求出原字符串的最小子序列。具体步骤如下：

1. 遍历字符串，针对某个位置$i$，求出其${0,\cdots,i-1}$区间的最大前缀后缀匹配长度$j$。

2. 针对所有$i$的取值，计算上一步骤得到的匹配长度，得到一个长度为$n$的数组$next_arr$，数组$next_arr[-1]$即为原字符串的最小子序列的长度减一（也就是除去最后一个字符以外的长度）。

3. 判断$next_arr[-1]$是否为-1，如果是，则说明原字符串不存在子序列，此时返回原字符串的两倍；否则，将原字符串的最后$next_arr[-1]+1$个字符复制一遍，拼接到原字符串的末尾，即可得到具有最小周期和该字符串作为子序列的定期二进制字符串。

复杂度分析

该算法的时间复杂度为$O(n)$，其中$n$为字符串的长度。算法中的瓶颈在于第一步的前缀后缀匹配，这一步的时间复杂度为$O(n)$。空间复杂度为$O(n)$，主要开销在$next_arr$数组上。

总结

对于字符串中的子序列问题，KMP算法是一个非常经典和高效的解决方案。对于具有最小周期和给定二进制字符串作为子序列的定期二进制字符串，只需要使用KMP算法求出原字符串的最小子序列的长度，然后拼接到原字符串末尾即可得到答案。