动态规划 | 通配符模式匹配 | 线性时间和恒定空间

前言

本文将介绍动态规划算法以及它在解决通配符模式匹配问题中的应用，还将简要介绍如何使用动态规划算法实现线性时间和恒定空间的通配符模式匹配算法。

动态规划

动态规划是一种算法思想，在解决许多计算机科学中的复杂问题时被广泛使用。它的基本思想是将原问题分解为多个子问题，通过解决子问题来得到原问题的解。在解决动态规划问题时，我们需要先定义状态、状态转移方程和边界条件。

动态规划算法的应用非常广泛，比如最长公共子序列、背包问题、斐波那契数列等问题都可以使用动态规划算法来解决。

通配符模式匹配

通配符模式匹配是一个非常常见的问题，在许多应用中都会涉及到。通配符模式匹配是指判断一个字符串是否与另一个字符串匹配，其中匹配的字符串包含通配符，通配符可以匹配任何字符。

下面是一个通配符模式匹配的例子：

def isMatch(s: str, p: str) -> bool:
    m, n = len(s), len(p)
    dp = [[False] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    dp[0][0] = True
    for j in range(1, n + 1):
        if p[j - 1] == "*":
            dp[0][j] = True
        else:
            break
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if p[j - 1] == "*":
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i][j - 1]
            elif p[j - 1] == "?" or s[i - 1] == p[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
    return dp[m][n]

在上面的函数中，我们使用了动态规划算法来解决通配符模式匹配问题。我们首先定义状态为dp[i][j]，表示字符串s的前i个字符和字符串p的前j个字符是否匹配。然后我们定义状态转移方程如下：

• 如果p[j-1]为*，那么dp[i][j] = dp[i-1][j] or dp[i][j-1]；
• 如果p[j-1]为?或者s[i-1] == p[j-1]，那么dp[i][j] = dp[i-1][j-1]；
• 如果p[j-1]为其他字符，那么dp[i][j]为False。

我们还需要设置边界条件，即dp[0][0] = True表示空字符串匹配空字符串，dp[0][j] = True表示空字符串匹配非空字符串。

线性时间和恒定空间的通配符模式匹配

动态规划算法可以解决通配符模式匹配问题，但是会使用O(mn)的空间，其中m和n分别为字符串s和p的长度。如果输入的字符串非常长，则可能会导致内存不够用。

但是我们可以使用一些技巧来实现线性时间和恒定空间。具体来说，我们可以使用双指针来实现，一个指针指向字符串s，一个指针指向字符串p，每次比较这两个指针指向的字符是否匹配。在匹配失败时，我们可以回退到之前的状态，重新开始匹配。

下面是一个实现线性时间和恒定空间的通配符模式匹配算法的例子：

def isMatch(s: str, p: str) -> bool:
    i = j = 0
    star = last_i = -1
    while i < len(s):
        if j < len(p) and (p[j] == '?' or s[i] == p[j]):
            i += 1
            j += 1
        elif j < len(p) and p[j] == '*':
            star = j
            last_i = i
            j += 1
        elif star != -1:
            j = star + 1
            last_i += 1
            i = last_i
        else:
            return False
    while j < len(p) and p[j] == '*':
        j += 1
    return j == len(p)

在这个算法中，我们使用两个指针i和j分别指向字符串s和字符串p，并且使用一个变量star来记录最近一次出现的通配符*的位置，使用变量last_i来记录最近一次匹配失败时的指针i的位置。在匹配失败时，我们回退到最近一次出现的通配符*后面的位置重新开始匹配。

结论

本文介绍了动态规划算法以及它在解决通配符模式匹配问题中的应用，还介绍了如何使用双指针来实现线性时间和恒定空间的通配符模式匹配算法。动态规划算法是一个非常重要的算法思想，在计算机科学中有着广泛的应用。在解决算法问题时，我们可以尝试使用动态规划算法，以降低问题的时间和空间复杂度。