双背包 | 动态规划

简介

双背包问题是一个经典的动态规划问题。它的形式与背包问题很相似，但它允许二维数组，并且相较于背包问题更加复杂。

具体来说，有 $n$ 件物品和两个容量为 $V_1$ 和 $V_2$ 的背包。第 $i$ 件物品的重量为 $w_i$，价值为 $v_i$。将一些物品装入这两个背包中，使得两个背包中物品的总价值最大。

解法

这个问题可以使用动态规划来解决。我们可以按照以下方式设置状态：

设 $f(i, j, k)$ 表示前 $i$ 个物品，放入容量为 $j$ 和容量为 $k$ 的两个背包中所能获得的最大价值。

那么，我们可以得到以下状态转移方程：

$$f(i, j, k) = \max{f(i-1, j, k),f(i-1, j-w_i, k)+v_i, f(i-1, j, k-w_i)+v_i,f(i-1, j-w_i, k-w_i) + v_i}$$

其中，第 $i$ 个物品可以不放进任何一个背包中，放进容量为 $j$ 的背包中，放进容量为 $k$ 的背包中，或者同时放入两个背包中。

代码

下面是一个使用 Python 实现的双背包动态规划的例子：

def double_knapsack(n, v1, v2, w, v):
    # 初始化状态数组
    f = [[[0] * (v2+1) for _ in range(v1+1)] for _ in range(n+1)]

    # state transfer
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(v1+1):
            for k in range(v2+1):
                f[i][j][k] = f[i-1][j][k]
                if j >= w[i-1]:
                    f[i][j][k] = max(f[i][j][k], f[i-1][j-w[i-1]][k] + v[i-1])
                if k >= w[i-1]:
                    f[i][j][k] = max(f[i][j][k], f[i-1][j][k-w[i-1]] + v[i-1])
                if j >= w[i-1] and k >= w[i-1]:
                    f[i][j][k] = max(f[i][j][k], f[i-1][j-w[i-1]][k-w[i-1]] + v[i-1])
    
    # return result
    return f[n][v1][v2]

其中，n 表示物品的数量，v1 和 v2 分别表示两个背包的容量，w 和 v 分别表示物品的重量和价值。函数的返回值为双背包中物品的最大价值。