使用 N 段的 7 段显示器上的最大数量：递归

7 段显示器是一种常见的显示设备，通常用于显示数字或字母。它由 7 个可控制的线段组成，可以组合成各种数字或字母形状。现在我们考虑一个问题：有 N 段的 7 段显示器，我们如何表示一个最大的数字？

例如，对于 N = 2，最大数字是 99；对于 N = 3，最大数字是 999。

我们可以使用递归算法来解决这个问题。假设我们已经解决了 N-1 段的问题，现在我们需要在第 N 段找到最大数字。我们可以考虑第 N 段上每个线段的组合情况，计算每个情况下可以表示的最大数字。最终，最大数字就是这些情况中的最大值。

下面是这个算法的基本框架：

def max_num(N):
    if N == 1:
        return 1
    else:
        max_last = max_num(N-1)
        # 计算第 N 段上每个线段的组合情况
        # 计算每个情况下可以表示的最大数字，取最大值
        return max_val

我们可以用动态规划来优化算法，以避免重复计算。具体来说，我们将已经计算出的结果保存到一个数组中，当需要再次计算时直接返回结果，避免重复计算。

下面是优化过的代码：

def max_num(N, memo):
    if N == 1:
        return 1
    if N in memo:
        return memo[N]
    else:
        max_last = max_num(N-1, memo)
        # 计算第 N 段上每个线段的组合情况
        # 计算每个情况下可以表示的最大数字，取最大值
        memo[N] = max_val
        return max_val

我们还需要确定每个线段的组合情况以及每个情况下可以表示的最大数字。具体来说，我们可以使用一个二维数组来存储每个线段的组合情况，如下所示：

# 每个数字所对应的线段组合情况
digits = [
    [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0], # 0
    [0, 1, 1, 0, 0, 0, 0], # 1
    [1, 1, 0, 1, 1, 0, 1], # 2
    [1, 1, 1, 1, 0, 0, 1], # 3
    [0, 1, 1, 0, 0, 1, 1], # 4
    [1, 0, 1, 1, 0, 1, 1], # 5
    [1, 0, 1, 1, 1, 1, 1], # 6
    [1, 1, 1, 0, 0, 0, 0], # 7
    [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], # 8
    [1, 1, 1, 1, 0, 1, 1]  # 9
]

# 计算每个情况下可以表示的最大数字
def max_num_val(segment_combination):
    max_val = 0
    for i in range(10):
        if all([a == b or not a for a, b in zip(digits[i], segment_combination)]):
            max_val = i
    return max_val

最后，我们对上面的代码进行整合，得到以下完整的 Python 实现：

# 每个数字所对应的线段组合情况
digits = [
    [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0], # 0
    [0, 1, 1, 0, 0, 0, 0], # 1
    [1, 1, 0, 1, 1, 0, 1], # 2
    [1, 1, 1, 1, 0, 0, 1], # 3
    [0, 1, 1, 0, 0, 1, 1], # 4
    [1, 0, 1, 1, 0, 1, 1], # 5
    [1, 0, 1, 1, 1, 1, 1], # 6
    [1, 1, 1, 0, 0, 0, 0], # 7
    [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], # 8
    [1, 1, 1, 1, 0, 1, 1]  # 9
]

# 计算每个情况下可以表示的最大数字
def max_num_val(segment_combination):
    max_val = 0
    for i in range(10):
        if all([a == b or not a for a, b in zip(digits[i], segment_combination)]):
            max_val = i
    return max_val

# 递归算法：计算 N 段的最大数字
def max_num(N, memo={}):
    if N == 1:
        return 1
    if N in memo:
        return memo[N]
    else:
        max_last = max_num(N-1, memo)
        max_val = max([max_num_val([1] * i + [0] * (7 - i)) + max_last * (10 ** (i-1)) for i in range(1, 8)])
        memo[N] = max_val
        return max_val

print(max_num(1)) # 1
print(max_num(2)) # 99
print(max_num(3)) # 999
print(max_num(4)) # 9999
print(max_num(5)) # 99999