将数组分成两个子集，它们的最大值和最小值之间具有最小的按位异或

介绍

这是一道典型的分组问题，要求将给定的数组分成两个子集，这两个子集的最大值和最小值的异或值最小。

对于这种问题，我们可以采用动态规划的思路进行求解。

具体地，我们可以用一个三维数组 dp[i][j][k] 表示当前考虑到了数组中的第 i 个元素，已经将前 i - 1 个元素分成了两个子集，其中一个子集的最大值为 j，最小值为 k，另一个子集的最大值为 max - j，最小值为 min - k。其中 max 和 min 分别表示前 i - 1 个元素的最大值和最小值。

然后我们可以根据当前考虑到的元素 a[i] 进行状态转移。具体地，我们将 a[i] 加入到最小子集中，更新最大值和最小值，并尝试将其分配给第一个子集或第二个子集，取两种情况中的较小值。即：

dp[i][max(j, a[i])][min(k, a[i])] = min(dp[i][max(j, a[i])][min(k, a[i])], dp[i-1][j][k]) dp[i][j][k] = min(dp[i][j][k], dp[i-1][j][k] + (j ⊕ k ⊕ a[i]))

其中 ⊕ 表示按位异或。

最终的答案为 dp[n-1][0][∞]，其中 n 为数组长度，∞ 表示正无穷。

代码

以下代码为该问题的 Python 实现：

def min_xor_sum(nums):
    n = len(nums)
    max_val, min_val = max(nums), min(nums)
    max_sum = max_val + min_val
    dp = [[[float('inf')] * (max_sum + 1) for _ in range(max_val + 1)] for _ in range(n)]
    dp[0][nums[0]][nums[0]] = 0
    dp[0][0][max_val + 1] = 0

    for i in range(1, n):
        for j in range(max_val + 1):
            for k in range(max_sum - j + 1):
                if j >= nums[i] and k >= nums[i]:
                    dp[i][j][k] = min(dp[i][j][k], dp[i-1][j][k])

                    dp[i][max(j, nums[i])][min(k, nums[i])] = min(dp[i][max(j, nums[i])][min(k, nums[i])], dp[i-1][j][k])

                    dp[i][j][k] = min(dp[i][j][k], dp[i-1][j][k] + (j ^ k ^ nums[i]))

    return dp[n-1][0][max_val + 1]

以上代码的时间复杂度为 O(n * V * K)，其中 V 为 nums 中的最大值，K 为 nums 中的最大值与最小值之和。