给定预排序序列长度的二叉树数

背景

在进行二叉树相关问题的研究时，我们经常会涉及到给定二叉树的先序遍历序列，而这个问题可以进一步扩展为：给定先序遍历序列长度，求出所有可能生成的二叉树数。

例如，对于先序遍历序列长度为4的二叉树，实际上存在如下5种构建方式：

1          1         1         2           2
 \        /         / \       / \         / \
  2      2         3   2     1   3       3   1
   \    / \                   /           \
    3  3   1                 3             2

那么，如何求得所有可能生成的二叉树数呢？本文将为大家详细介绍解决方案。

解法

根据二叉树性质，我们知道，对于一个二叉树而言，它所包含的节点数$n$可以通过其左右子树节点数之和得出，即：

$$ n = n_{left} + n_{right} + 1 $$

根据题目要求，我们已知二叉树的先序遍历序列长度为$l$，那么要求的即是先序遍历序列长度为$l$的所有二叉树的数量。我们可以采用以下思路来求解：

• 遍历所有可能的左子树节点数量$k$，$k$取值范围为$0$至$l-1$之间（注意，这里$k$不能等于$l-1$，因为至少需要留一个节点给右子树）。
• 根据上面的公式，我们可以知道右子树节点数量为$l-k-1$。
• 递归计算左右子树的可能性所涉及的二叉树数量，将左右子树计算出的二叉树数量相乘，即为其贡献的二叉树数量。
• 将所有可能的$k$下的二叉树数量累加，即为该先序遍历序列长度下所有可能的二叉树数量。

具体实现中，我们可以使用动态规划的思想来优化计算过程，避免重复计算。

代码实现

下面是Python代码实现的示例：

def count_trees(n, memo={}):
    if n in memo:
        return memo[n]
    if n <= 1:
        return 1
    count = 0
    for i in range(n):
        left = count_trees(i, memo)
        right = count_trees(n-i-1, memo)
        count += left * right
    memo[n] = count
    return count

总结

给定预排序序列长度的二叉树数是一个经典的问题，其解决方法也非常巧妙。我们可以通过遍历左子树节点数量$k$的方式，递归计算左右子树的可能性所涉及的二叉树数量，并将它们相乘得到最终的结果，其中动态规划思想的使用可以优化计算过程，避免重复计算。