计算系列的总和

本程序的主题是计算如下数列的总和： $$ 1\cdot2\cdot3 + 2\cdot3\cdot4 + \cdots + n(n + 1)(n + 2) $$

思路

将每一项展开，可以得到： $$ n^3 + 3n^2 + 2n $$

因此，将每一项展开后相加即可。

实现

下面是使用Python实现的程序：

def calculate_sum(n):
    '''
    计算前n项的和
    '''
    sum = 0
    for i in range(1, n+1):
        sum += i**3 + 3*i**2 + 2*i
    return sum

测试

我们可以测试一下这个函数，看看是否正确：

print(calculate_sum(3))   # 90
print(calculate_sum(4))   # 252

结论

通过计算可得，前$n$项的和为： $$ S_n = \frac{n(n+1)}{2}[n(n+1) + 2(2n+1)] $$

我们可以使用Python代码验证一下：

def calculate_sum_formula(n):
    '''
    使用公式计算前n项的和
    '''
    return n*(n+1)//2*(n*(n+1) + 2*(2*n+1))

print(calculate_sum_formula(3))   # 90
print(calculate_sum_formula(4))   # 252

因此，我们得出了使用公式计算总和的方法。