二叉树的最大XOR路径

介绍

本文将介绍如何在二叉树中找到一条路径，使得该路径上所有节点的值的异或和（XOR）最大。本算法使用了 Trie 树，时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 是节点数。

算法流程

1. 从根节点开始，按照每位二进制数从高到低的顺序依次处理每个节点。
2. 对于每个节点，找到能使当前位为 1 的子节点，如果该子节点不存在，则该节点必须选取为 0，否则选取为 1。
3. 如果在某一层搜索完所有节点后，到达叶子节点，则更新最大值。

代码实现

下面是实现该算法的 Python 代码片段：

class Node:
  def __init__(self):
    self.child = {}  # 子节点，key 为 0 或 1
    self.is_end = False  # 标记是否为某个数的结束节点


class Solution:
  def __init__(self):
    self.root = Node()
    self.max_xor = 0

  def insert(self, num: int) -> None:
    """
    将二进制数插入到 Trie 树中
    """
    curr = self.root
    for i in range(31, -1, -1):
      bit = (num >> i) & 1
      if bit not in curr.child:
        curr.child[bit] = Node()
      curr = curr.child[bit]
    curr.is_end = True

  def search(self, num: int) -> int:
    """
    在 Trie 树中查找与给定数异或最大的数
    """
    curr = self.root
    res = 0
    for i in range(31, -1, -1):
      bit = (num >> i) & 1
      # 如果当前位为 0，则尽量选择 1 的子节点
      if bit == 0:
        if 1 in curr.child:
          curr = curr.child[1]
          res |= 1 << i
        else:
          curr = curr.child[0]
      # 如果当前位为 1，则尽量选择 0 的子节点
      else:
        if 0 in curr.child:
          curr = curr.child[0]
          res |= 1 << i
        else:
          curr = curr.child[1]
    return res

  def dfs(self, curr: Node, num: int) -> None:
    """
    DFS 遍历整棵二叉树
    """
    if curr.is_end:
      self.max_xor = max(self.max_xor, num ^ self.search(num))
    for bit, child in curr.child.items():
      if child:
        self.dfs(child, num | (bit << 31))

  def getMaxXorPath(self, root: TreeNode) -> int:
    """
    返回二叉树中的最大异或和路径
    """
    for num in self.nums:
      self.insert(num)
    self.dfs(root, 0)
    return self.max_xor

代码中主要的三个函数分别为 insert 函数，用于将二进制数插入到 Trie 树中；search 函数，用于在 Trie 树中查找与给定数异或最大的数；dfs 函数，用于 DFS 遍历整棵二叉树，找到最大异或和路径。

总结

该算法主要利用了 Trie 树的应用，通过存储二进制数的方式计算最大异或和。时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 为节点数。