由 H+1 个节点组成的高度为 H 的二叉搜索树的数量

在计算机科学中，二叉搜索树是一种被广泛应用的基础数据结构，能够在 O(log n) 的时间复杂度下完成查找、插入和删除等操作。在二叉搜索树中，左子树的值都小于根节点，右子树的值都大于根节点，因此它也被称为二叉排序树。

在本文中，我们将介绍如何计算由 H+1 个节点组成的二叉搜索树数量。这个问题通常被称为卡特兰数问题，它是计算机科学中一个重要的问题。

卡特兰数

卡特兰数是一类经典的组合数学问题，它描述了在许多数学和计算机科学问题中出现的递归结构的数量。它是以比利时数学家欧仁·查理·卡特兰的名字命名的。

卡特兰数有以下递推公式：

$$ C_{n+1} = \frac{2(2n+1)}{n+2}C_n $$

其中 $C_0=1$，$n\geq 0$。

二叉搜索树数量的计算

由 H+1 个节点组成的高度为 H 的二叉搜索树的数量可以通过卡特兰数递推公式计算得到。假设有 $n$ 个节点组成的二叉搜索树数量为 $T_n$，则有以下递推公式：

$$ T_{n+1} = \sum_{i=0}^{n}{T_iT_{n-i}} $$

其中 $T_0=1$。

由于二叉搜索树的节点个数是 $H+1$，因此要求 $T_{H}$。

这个递推公式的意义是，将二叉搜索树以根节点为分界点分成左右两个子树。左子树有 $i$ 个节点，右子树有 $n-i$ 个节点。由于两个子树是相互独立的，因此可以计算它们的数量，并将它们的乘积累加起来。

代码实现如下：

def catalan(n):
    if n == 0:
        return 1
    c = 1
    for i in range(n):
        c *= 2*(2*i+1)/(i+2)
    return int(c)

def numTrees(h):
    return catalan(h)

测试样例

assert numTrees(0) == 1
assert numTrees(1) == 1
assert numTrees(2) == 2
assert numTrees(3) == 5
assert numTrees(4) == 14