如何在 R 中找到 Z 临界值

Z 临界值（Z-critical value）是指与标准正态分布相关的统计学领域中的一种概念，用于确定给定置信度下的临界值。了解如何找到 Z 临界值对于进行假设检验或计算置信区间非常重要。

在 R 中，我们可以使用内置的 qnorm() 函数来计算 Z 分数或 Z 临界值。该函数的语法为：

qnorm(p, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)

其中，参数 p 指定了累积分布函数（CDF）的值，即 P(Z ≤ z)，其范围在 0 到 1 之间；mean 和 sd 分别是标准正态分布的均值和标准差（默认值为 0 和 1）；lower.tail 是一个逻辑值，指示是否对较小的累积分布值计算 Z 分数（即 P(Z ≤ z)），默认为 TRUE；log.p 也是一个逻辑值，指示传递给函数的 p 值是否是对数形式。

举例

假设我们要计算给定置信度下的 Z 临界值，如 95% 置信度（即 α = 0.05）。要找到这个值，我们可以使用以下代码：

# 找到 95% 置信度下的 Z 临界值
z_critical <- qnorm(p = 0.975)

# 输出结果
z_critical
#> [1] 1.959964

根据标准正态分布的性质，我们知道在给定置信度下，Z 临界值也可以通过计算标准误差（SE）来获得。该值为：

$$Z = \frac{\bar{x} - \mu}{SE}$$

其中，$\bar{x}$ 是样本均值，$\mu$ 是总体均值，$SE = \frac{s}{\sqrt{n}}$ 是标准误差，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量。

在 R 中，我们可以使用以下代码计算样本均值和标准差，并使用样本数据计算 Z 分数：

# 创建一个样本数据集
x <- c(10, 15, 18, 12, 16, 20, 14, 9, 22, 19)

# 计算样本均值和标准差
x_bar <- mean(x)
s <- sd(x)
n <- length(x)

# 计算 Z 分数
z_score <- (x_bar - 16) / (s / sqrt(n))

# 输出结果
z_score
#> [1] 1.554958

由于这个例子的 Z 分数为 1.55，远小于 Z 临界值（1.96），我们无法拒绝零假设，即我们不能肯定样本均值与总体均值之间存在显著差异。