Schröder–Hipparchus 数

简介

Schröder–Hipparchus 数（Schröder–Hipparchus number）是组合数学中的一个数列，由一系列正整数组成。它以德国数学家恩斯特·斯克勒德（Ernst Schröder）和希腊数学家希帕尔科斯（Hipparchus）的名字命名。

Schröder–Hipparchus 数以其在组合数学和计算机科学中的应用而闻名，尤其是在计数问题和图形论中。

数列定义

Schröder–Hipparchus 数列由以下递推关系定义：

S(0) = 1
S(1) = 1
S(n) = S(n-1) + Σ(S(i) * S(n-i-1)) for i = 0 to n-2

其中，Σ 表示求和符号，S(n) 表示第 n 个数。

计算 Schröder–Hipparchus 数

以下是一个 Python 代码片段，用于计算 Schröder–Hipparchus 数列的前 n 个数：

def schroder_hipparchus_number(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return 1
    
    schroder = [0] * (n + 1)
    schroder[0] = 1
    schroder[1] = 1
    
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(i):
            schroder[i] += schroder[j] * schroder[i-j-1]
    
    return schroder

n = 10
s = schroder_hipparchus_number(n)
print(s)

应用

Schröder–Hipparchus 数列在许多组合计数问题中具有重要的应用，其中包括：

• 二项树的计数：Schröder–Hipparchus 数列可以用来计算 n 个节点的二项树的个数。
• 根为 2 的非叶子结点的二叉树计数：Schröder–Hipparchus 数列可以用来计算根为 2 的二叉树中非叶子结点的个数。
• 在图形论中，Schröder–Hipparchus 数列可以用来计算不同形状的多边形的个数。

结论

Schröder–Hipparchus 数为组合数学中的一个重要数列，它在许多计数问题中有广泛的应用。通过使用递推关系和动态规划的方法，我们可以有效地计算 Schröder–Hipparchus 数列。对于程序员来说，了解和理解这个数列的特性和计算方法，可以帮助解决各种组合计数问题。