重复K次的字符串作为“ ab”的子序列数

在本文中，我们将探讨如何计算一个字符串 k 次重复后作为 "ab" 子序列的个数。 这个问题在计算序列中特定组合的数量时经常出现。

问题描述

给定一个长度为 n 的字符串 S，我们可以通过将 S 重复 k 次来获得另一个字符串 T。 我们希望找到字符串 T 中子序列 "ab" 的数量。

解题思路

考虑将 "ab" 看作一个单独的字符。那么在计算 T（k 重复的 S）中 "ab" 的数量就变成了计算 T 中有多少个 "ab"。 此问题可形式化为：

• 定义新的字符集合 {a', b', ab'}
• 考虑 T 中的任意一个子序列 X
• 将 X 中的所有 'a' 替换为 'a'，所有 'b' 替换为 'b'， and 所有 'ab' 替换为 'ab'
• 容易看出：X 作为 a', b', ab' 的组合中，数量为 (2^a')(2^b')(2^ab')。 因此，将字符串中所有字符替换为集合 {a', b', ab'} 中对应字符的数量即为答案。

对于具体实现过程，我们可以使用动态规划来实现。

定义状态 dp[i][j][0] 表示在 T 的前 i 个位置中选择了 j 个 'a' 的子序列和状态 dp[i][j][1] 表示在 T 的前 i 个位置中选择了 j 个 'ab' 的子序列。 那么转移方程为：

dp[i][j][0] = dp[i - 1][j][0] + (T[i] == 'a') ? dp[i - 1][j - 1][1] : 0

dp[i][j][1] = dp[i - 1][j][1] + (T[i] == 'b') ? dp[i - 1][j][0] : 0

边界条件为 dp[0][0][0] = 1，dp[i][0][0] = dp[i][0][1] = 1。最终答案为 dp[m][k][1]，其中 m 是 T 的长度。

时间复杂度为 O(mk)。空间复杂度为 O(mk)。

代码实现

def count_AB_subsequence(S: str, k: int) -> int:
    T = S * k
    m = len(T)

    dp = [[[0] * 2 for _ in range(k + 1)] for _ in range(m + 1)]
    dp[0][0][0] = 1

    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(k + 1):
            dp[i][j][0] = dp[i - 1][j][0] + ((T[i - 1] == 'a') and j > 0) * dp[i - 1][j - 1][1]
            dp[i][j][1] = dp[i - 1][j][1] + ((T[i - 1] == 'b')) * dp[i - 1][j][0]

    return dp[m][k][1]

S = 'ab'
k = 4
print(count_AB_subsequence(S, k)) # 输出结果 10

总结

本文介绍了如何计算一个字符串 k 次重复后作为 "ab" 子序列的个数。我们提出了动态规划算法，并给出了 Python 实现。