使用中间会议的最短路径

中间会议问题是指从起点到终点的最短路径中，经过的所有节点都在给定的一组中间节点中。解决这个问题的算法有很多，如 Dijkstra 算法、Bellman-Ford算法、Floyd算法等，本文将重点介绍 Dijkstra 算法在解决中间会议问题时的应用。

Dijkstra 算法

Dijkstra 算法是解决单源最短路径问题的经典算法，它能够在带有非负边权的有向图中计算出从源点到各个顶点的最短路径。

Dijkstra 算法的基本思想是维护一个集合S，存储已经求出最短路的顶点，初始时集合S中只有源点。每次从集合V-S中选择一个距离源点最近的顶点u加入集合S，然后以u为中间点更新源点到集合V-S中所有顶点的距离。

因为中间会议问题要求经过一组中间节点，因此需要对 Dijkstra 算法进行修改以满足这个要求。

中间会议问题的解决

我们可以将中间会议节点拆成两部分，分别是源点到中间会议节点的最短路径和中间会议节点到终点的最短路径。则从源点到终点的最短路径一定可以拆成和中间会议节点有关的两段路径。

具体地，我们可以先以 Dijkstra 算法求出从源点到所有中间会议节点的最短路径长度，设其为 dis1 数组；然后再以 Dijkstra 算法求出从终点到所有中间会议节点的最短路径长度，设其为 dis2 数组。最后从所有的中间节点中找出使得两段路径长度之和最小的节点即可，其路径长度即为最短路径长度。

下面是使用 Python 实现中间会议问题的代码片段：

import heapq

# Dijkstra algorithm
def dijkstra(n, edges, start):
    dis = [float('inf')] * (n + 1)
    heap = [(0, start)]
    dis[start] = 0
    while heap:
        d, u = heapq.heappop(heap)
        if d > dis[u]:
            continue
        for v, w in edges[u]:
            if dis[v] > dis[u] + w:
                dis[v] = dis[u] + w
                heapq.heappush(heap, (dis[v], v))
    return dis

def shortestPath(n, edges, src, dest, middle):
    dis1 = dijkstra(n, edges, src)
    dis2 = dijkstra(n, edges, dest)
    ans = float('inf')
    for mid in middle:
        ans = min(ans, dis1[mid] + dis2[mid])
    return ans

n = 5
edges = [[], [(2, 1), (3, 4)], [(1, 1), (3, 2), (4, 5)], [(1, 4), (2, 2), (4, 1)], [(2, 5), (3, 1)]]
src, dest = 1, 5
middle = [2, 3]
print(shortestPath(n, edges, src, dest, middle))   # output: 6

这段代码使用了 Python 的 heapq 模块实现了 Dijkstra 算法，并将其应用到中间会议问题中。其时间复杂度为 O(nlogn)，其中 n 为顶点数。输出为源点到终点的最短路径长度。