最小化两个子集之和的绝对差

问题描述

给定一个整数数组 nums，将其分成两个子集，使得两个子集的和之差的绝对值最小。

例子

输入: [1, 2, 3, 4, 5]

输出: 1

解决方案

思路

这个问题可以转化为找到一个子集，使得子集的和尽可能接近总和的一半。因为如果我们找到了一个子集，那么与另一个子集的和之差为：

(total_sum - subset_sum) - subset_sum

可以简化为：

total_sum - 2 * subset_sum

没有必要知道两个子集的确切值，因为只需要在空间复杂度上保存子集和，既可以节省时间和空间。由于题目保证给定的数组长度不超过 40，我们可以将解空间定义为 [0，10000]，因为任何数大于 10000 都没有意义。

代码实现

下面是 Python 的实现：

from typing import List

def minimumSubsetDifference(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    total_sum = sum(nums)
    # 构建一个包含n+1行，total_sum // 2 + 1列的二维数组，默认都初始化为 False
    # 仅在第一行将第一个元素标记为 True，表示 subset 的和为 0 时，可以刚好到达
    dp = [[False] * (total_sum // 2 + 1) for _ in range(n+1)]
    dp[0][0] = True
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(total_sum // 2 + 1):
            # case 1：原始 subset 中的第i个元素大于 j，因此将前面行的值传递到当前行
            dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            # case 2：如果当前值可以和之前的 subset 中的值相加，使得其和为 j，则可以从其前一个值的行得到这一行的结果
            if nums[i - 1] <= j:
                dp[i][j] = dp[i][j] or dp[i - 1][j - nums[i - 1]]
    # 在最后一行找到最大子集和且不能超过total_sum // 2
    # 因为 subset1 + subset2 = total_sum，所以 subset1 - subset2 = total_sum - 2*subset2
    # 因此，我们最终得到的结果就是 total_sum - 2*subset2
    for j in range(total_sum // 2, -1, -1):
        if dp[n][j]:
            return total_sum - 2 * j

总结

这个问题的解决方案充分利用了动态规划的思想。我们首先将问题转化为将一个数组分成两个子集，而不是找到两个子集之和之差的最小值。由于任何子集之和不能超过总和的一半，我们将解空间定义为 [0，total_sum // 2]，并使用动态规划算法计算子集之和的可能情况，以快速找到可能的解，从而减少计算时间。