计算斯特林数

斯特林数又称第二类斯特林数，它的含义是将一个集合分成若干个非空子集的方案数。具体来说，给定大小为 $n$ 的集合 $S={1,2,\ldots,n}$ 和整数 $k$，则所有将 $S$ 分成 $k$ 个非空子集的方案数为一个斯特林数 $S(n,k)$。

斯特林数有如下递推公式：

$$ S(n,k)=S(n-1,k-1)+(n-1)S(n-1,k) $$

且初始化为 $S(0,0)=1$，$S(n,0)=0$（$n$ 不为 $0$），$S(0,k)=0$（$k$ 不为 $0$）。

斯特林数也可以用以下公式计算：

$$ S(n,k)=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}\binom{k}{i}i^n $$

其中 $\binom{k}{i}$ 表示从 $k$ 个元素中选择 $i$ 个元素的组合数。

Python 实现

以下是 Python 中计算斯特林数的代码：

def stirling_num(n: int, k: int) -> int:
    if n == k == 0:
        return 1
    if n == 0 or k == 0:
        return 0
    dp = [[0] * (k+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        for j in range(k+1):
            if j == 0:
                dp[i][j] = 0
            elif i == 0:
                dp[i][j] = 0
            elif j == 1 or j == i:
                dp[i][j] = 1
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + (i-1) * dp[i-1][j]
    return dp[n][k]

该函数计算集合 ${1,2,\ldots,n}$ 中分成 $k$ 个非空子集的方案数，返回一个整数。时间复杂度为 $O(nk)$，空间复杂度为 $O(nk)$。

我们也可以将上述递推公式实现成一个递归函数，代码如下：

def stirling_num(n: int, k: int) -> int:
    # 递归终止条件
    if n == k == 0:
        return 1
    if n == 0 or k == 0:
        return 0
    # 递推公式
    return stirling_num(n-1, k-1) + (n-1) * stirling_num(n-1, k)

但是该递归函数的时间复杂度非常高（是指数级别的），不适用于实际运算。

总结

计算斯特林数是一个非常基础的数学问题，它在组合数学、计算机科学以及统计学等领域都有着广泛应用，比如生成函数、多项式计算、排列组合问题等等。掌握斯特林数的计算方法，对学习这些领域的知识将会非常有帮助。