不包含重复元素的最大长度为 K 的子序列的数量

什么是子序列？

子序列是指从序列中挑选出若干个元素（可以不连续），并按照原来次序排列出来形成的一个新序列。原序列中元素的顺序在子序列中不可改变。

例如，序列 [1, 2, 3, 4] 的子序列有 [1, 2]、[1, 3, 4]、[2, 4] 等。

问题描述

给定长度为 N 的序列，求出不包含重复元素的最大长度为 K 的子序列的数量。

例如，当序列为 [1, 2, 3, 4]，K=2 时，不包含重复元素的最大长度为 2 的子序列有 [1, 2]、[1, 3]、[1, 4]、[2, 3]、[2, 4]、[3, 4] 六种，因此答案为 6。

解题思路

这是一道组合计数的问题，可以使用排列组合知识求解。

首先，最大长度为 K 的子序列可以从序列中选出任意 K 个元素得到，即从 N 个元素中选出 K 个元素。根据组合计数公式，可以得到：

$C_N^K = \frac{N!}{K!(N-K)!}$

接下来，考虑如何去掉包含重复元素的子序列。首先，从 N 个元素中选出 K 个元素，有 $C_N^K$ 种可能。而对于每一种包含重复元素的子序列，都包含多个包含 K 个不同元素的子序列。假设一个包含 K 个不同元素的子序列的第 i 个元素在原序列中出现了 m 次，则该子序列对答案的贡献为 $C_{N-m}^{K-1}$。因此，去掉包含重复元素的子序列后，答案为：

$\sum\limits_{m=0}^{\infty} (-1)^{m} C_N^{m} C_{N-m}^{K-1}$

代码实现

import math

def no_duplicate_subsequence_count(N, K):
    max_m = min(N-K, K-1)
    ans = 0
    for m in range(max_m + 1):
        ans += (-1) ** m * math.comb(N, m) * math.comb(N-m, K-1)
    return ans

复杂度分析

时间复杂度为 $O(K)$，空间复杂度为 $O(1)$。

总结

本文介绍了如何计算不包含重复元素的最大长度为 K 的子序列的数量。这是一道组合计数的问题，可以使用排列组合知识求解。代码实现简单，时间复杂度为 $O(K)$，空间复杂度为 $O(1)$。