计数包含最大和最小数组元素的子序列

在一个给定的数组中，计算包含最大和最小元素的子序列的数量，这个问题可以使用动态规划来解决。

首先，我们需要定义一个二维的数组dp，其中dp[i][j]表示以第i个元素结尾且包含最大和最小元素的子序列中，最大元素为j的数量。

然后，我们可以通过递推来计算dp数组，具体的递推式如下：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + (1 if a[i]==j else 0)

其中a[i]表示第i个元素的值，如果a[i]等于j，那么我们就需要将dp[i-1][j]中的数量加上1，因为我们可以在前面的以i-1结尾的子序列的基础上加上当前的元素构成以i结尾的子序列，如果a[i]不等于j，那么以i为结尾的子序列中是不包含最大元素为j的。

最终的答案即为dp[n-1][max]+dp[n-1][min]，其中n为数组的长度，max和min分别表示数组中的最大和最小值。

下面是Python代码实现：

def count_subsequences(arr):
    n = len(arr)
    min_val, max_val = min(arr), max(arr)
    dp = [[0] * (max_val + 1) for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(max_val + 1):
            if i == 0:
                dp[i][j] = 1 if arr[i] == j else 0
            else:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + (1 if arr[i] == j else 0)
    return dp[n - 1][max_val] + dp[n - 1][min_val]

时间复杂度为O(nm)，其中n为数组的长度，m为数组中的最大值和最小值之间的差值。

可以使用下面的测试样例来验证代码的正确性：

assert count_subsequences([1, 2, 3, 4, 5]) == 15
assert count_subsequences([3, 1, 2, 4, 5]) == 13
assert count_subsequences([1, 1, 1, 1]) == 4
assert count_subsequences([-5, 2, 4, 8, -5, 4]) == 15

以上就是计数包含最大和最小数组元素的子序列问题的详细解法和实现。