切割杆 | DP-13

介绍

切割杆是动态规划中的一种经典问题，也称为“Rod Cutting”，针对给定长度不同的钢管和对应的价格，目标是找到一个最优的切割方案使得切割后的每段钢管总价格最大。

假设钢管长度为 $n$，价格数组为 $P[1,2,...,n]$，每段钢管的长度为 $i$，相应价格为 $P[i]$，切割方案为 $S$，方案中 $S_i$ 表示第 $i$ 段钢管的长度。则总价值为：

$$Q = \sum_{i=1}^{k} P[S_i]$$

其中，$k$ 为钢管被切割后得到的总段数。

状态转移方程

设 $r_n$ 表示钢管长度为 $n$ 时，其最优切割方案对应的最大总价值，则有以下状态转移方程：

$$ r_j = max_{1\leq i \leq j}(p_i + r_{j-i}) $$

其中，$p_i$ 表示长度为 $i$ 的钢管对应的价格，$j$ 表示当前钢管的长度。

实现

下面是一个 Python 的实现，假设钢管的长度存储在数组 $p$ 中：

def rod_cutting(n, p):
    r = [0] * (n + 1)
    for j in range(1, n + 1):
        q = -1
        for i in range(1, j + 1):
            q = max(q, p[i] + r[j-i])
        r[j] = q
    return r[n]

性能分析

这个算法的时间复杂度是 $O(n^2)$，空间复杂度也是 $O(n)$。虽然它的时间复杂度相对较高，但是对于一些小规模的问题，它是非常实用的。同时，该问题的状态转移方程形式简单，易于拓展，因此也有很多变体和应用场景。

尤其是在一些切割类的问题中，可以通过类似的思路设计动态规划算法进行求解，例如背包问题等。