间隔数组中的第 K 个最小元素

在计算机科学中，有许多不同的算法用于在给定数组中找到第K个最小元素。本文将介绍一种用于寻找具有特定间隔的数组中第 K 个最小元素的算法。

介绍

假设我们有一个由 $n$ 个整数组成的数组 $A$，并且这些整数按升序排序。我们定义数组的间隔 $G$ 为一个整数 $g$，使得 $A_i - A_{i-g} = G$ 对于 $i > g$ 成立。例如，如果我们有以下数组：

A = [1, 4, 7, 10, 13, 16]

那么它的间隔可以是 $3$，因为 $A_i - A_{i-3} = 3$ 对于 $i \in [4, 6]$ 成立。

我们的目标是在具有特定间隔的数组中找到第 K 个最小元素。

算法

这个算法的想法是建立一个辅助数组 $B$，其中每个元素是 $A$ 中的元素与 $A$ 中前面的 $g$ 个元素之间的差值。也就是说，$B_i = A_i - A_{i-g}$。注意，这个算法需要一个额外的数据结构来存储 $B$。

在 $B$ 中，我们首先找到第 $K$ 个最小元素。这可以通过使用一个选择算法来完成。一旦我们找到了第 $K$ 个最小元素，我们将其加回到 $A$ 中，得到 $X$。这样，我们就把问题转换成了在普通的数组 $X$ 中找到第 $K$ 个最小元素，这可以通过使用快排算法来完成。

代码

下面是 Python 实现：

def kth_smallest_element_with_gap(A, g, K):
    n = len(A)
    B = [0] * (n - g)
    for i in range(g, n):
        B[i - g] = A[i] - A[i - g]

    pivot = select(B, 0, n - g - 1, K - 1)
    X = []
    for i in range(g, n):
        if A[i] - A[i - g] <= pivot:
            X.append(A[i])

    return quick_select(X, 0, len(X) - 1, K - 1)

def select(A, left, right, k):
    if left == right:
        return A[left]

    pivot_idx = partition(A, left, right)
    if k == pivot_idx:
        return A[k]
    elif k < pivot_idx:
        return select(A, left, pivot_idx - 1, k)
    else:
        return select(A, pivot_idx + 1, right, k)

def partition(A, left, right):
    pivot = A[right]
    i = left
    for j in range(left, right):
        if A[j] < pivot:
            A[i], A[j] = A[j], A[i]
            i += 1
    A[i], A[right] = A[right], A[i]
    return i

def quick_select(A, left, right, k):
    if left == right:
        return A[left]

    pivot_idx = partition(A, left, right)
    if k == pivot_idx:
        return A[k]
    elif k < pivot_idx:
        return quick_select(A, left, pivot_idx - 1, k)
    else:
        return quick_select(A, pivot_idx + 1, right, k)

总结

该算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$，其中 $n$ 是数组的大小。虽然这种算法需要一些额外的计算，但它是解决这个问题的一种有效方法。在一些实际应用中，这种算法可以派上用场，例如在计算机视觉领域中，通过寻找图像中的关键点并计算它们之间的距离来构建特征空间。在这种情况下，我们可以使用这个算法来寻找具有一定距离间隔的关键点的第 K 个最小值。