最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）

介绍

最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）是一个常见的问题，适用于多种应用场景，例如排列、匹配、搜索和排序等。其中一种变体是通过将数组与其自身串联N次而形成的最长递增子序列。

给定一个正整数数组nums和一个整数N，你需要找到通过将数组与其自身串联N次所形成的最长递增子序列的长度。

例如，对于数组[1, 3, 2, 4]和N=2，将数组重复两次，得到[1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4]，最长递增子序列为[1, 2, 4]，所以返回值为3。

解决方案

解决这个问题的一种常用方法是动态规划（Dynamic Programming）。我们可以定义一个dp数组，其中dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。

对于每个位置i，我们可以通过遍历前面的位置j（j<i）并比较nums[i]和nums[j]的大小来更新dp[i]的值。具体而言，如果nums[i] > nums[j]，则dp[i]可以在dp[j]的基础上增加1，即dp[i] = dp[j] + 1。我们需要遍历所有小于i的位置j，找到满足条件的最大的dp[j]，然后将dp[i]更新为该值加1。

最终，最长递增子序列的长度就是dp数组中的最大值。

以下是相应的Python代码：

def lengthOfLIS(nums, N):
    length = len(nums)
    dp = [1] * (length * N)
    
    for i in range(length):
        for j in range(i):
            if nums[i] > nums[j]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
    
    return max(dp)

示例

nums = [1, 3, 2, 4]
N = 2
result = lengthOfLIS(nums, N)
print(result)  # 输出3

复杂度分析

• 时间复杂度：O(N^2)，其中N为数组长度。由于存在两层循环嵌套，所以时间复杂度为O(N^2)。
• 空间复杂度：O(N)，需要一个dp数组来保存每个位置的最长递增子序列的长度。

注意：此解决方案仅适用于数组长度不大的情况。如果数组长度非常大，则需要使用更加高效的算法来解决此问题。