严格递增 N 位数字的计数

在这个主题下，我们将学习如何计算一串数字中严格递增N位数字的个数。例如，在数字串“123456”中，严格递增3位数字的个数为3（123，124，125）。

解题思路

我们可以使用动态规划的思想对这个问题进行求解。对于每一位数字，我们可以记录在该数字为结尾的情况下，严格递增N位数字的个数有多少个。设dp[i][j]表示数字串前i位数字，以j这个数字为结尾的情况下，严格递增N位数字的个数。

因为要求的是递增N位数字的个数，所以j之前必须至少有N-1位数字。因此，dp[i][j]可以由dp[i-1][k]（k < j）转移而来。具体而言，dp[i][j] += dp[i-1][k]，其中k < j，且数字串前i-1位以k为结尾的情况下至少有N-2位数字。

最终的答案就是dp[n][0] + dp[n][1] + ... + dp[n][9]，其中n为数字串的总长度。

代码实现

下面是使用Python实现上述算法的示例代码片段：

def count_strictly_increasing_numbers(s: str, n: int) -> int:
    m = len(s)
    dp = [[0] * 10 for _ in range(m+1)]
    for j in range(10):
        dp[0][j] = 1
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(i - 1, min(i - n - 1, -1), -1):
            for k in range(j + 1):
                dp[i][k] += dp[j][k]
    return sum(dp[m])

在上述代码中，count_strictly_increasing_numbers函数接收两个参数：数字串s和严格递增N位数字的长度n。返回值是数字串中严格递增N位数字的个数。

结论

因为对于每一个数字j都需要向前遍历所有k（0 ≤ k < j），所以时间复杂度为O(n^3)，其中n为数字串的长度。空间复杂度为O(n)。

尽管空间复杂度很小，但时间复杂度相对来说比较高。如果N的值比较小，可以优化成O(n^2)的复杂度，具体实现方法不再赘述。