严格拟凸函数

在数学中，严格拟凸函数是描述了一个函数曲线从一个点向两侧弯曲的性质。

定义

严格拟凸函数是指若给定函数 $f$ 的定义域为 $X$，且存在 $a,b\in X$ 以及 $a<b$，使得对于任意 $t\in(0,1)$，都有：

$$ f(ta+(1-t)b)<tf(a)+(1-t)f(b) $$

则称 $f$ 是 $X$ 上的严格拟凸函数。

性质

• 若 $f$ 在 $X$ 上为可微的，则 $f$ 严格拟凸当且仅当 $f'$ 为严格单调递增函数。
• 若 $f$ 在 $X$ 上为二阶可微的，则 $f$ 严格拟凸当且仅当 $f''$ 在 $X$ 上恒为正。

在程序中的应用

严格拟凸函数常常用于优化问题中。

以凸函数为例，可以通过下列代码将函数 $f(x)=x^2$ 的图像绘制出来：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = x ** 2
plt.plot(x, y)
plt.title('Convex Function')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

而对于严格拟凸函数，我们可以将函数 $f(x)=e^x$ 的图像绘制出来：

x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = np.exp(x)
plt.plot(x, y)
plt.title('Strictly Convex Function')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

可以看到，严格拟凸函数比普通凸函数更具弯曲性，这种属性被广泛地应用于优化问题中，例如最小二乘法中的误差函数就是典型的严格拟凸函数。

结论

严格拟凸函数是一类重要的数学工具，广泛应用于优化问题中。无论是在数学理论研究中，还是在程序开发实践中，了解严格拟凸函数的定义以及性质都是非常有用的。