无向图分裂及其在数对中的应用

简介

无向图分裂是图论中的一个经典问题，其应用非常广泛。给定一个无向图，我们需要将其拆分成若干个连通的部分，使得每个部分内部没有边相连。无向图分裂在计算机科学中常用于图像分割、社区发现等领域中。

另外，无向图分裂也可以应用于数对问题，即找出满足一定条件的二元组。具体地，我们可以将数对看作是无向图中的顶点，而它们之间的关系则由边表示。这样，无向图分裂就可以用来求解数对问题中的子集划分、匹配等问题。

算法

无向图分裂问题可以使用图论中的最大独立集算法来解决。最大独立集是指在一个无向图中，一个集合内的任意两个顶点都没有边相连，并且这个集合的大小最大。因此，我们可以考虑将无向图分割成若干个最大独立集。

具体地，我们可以使用贪心算法实现。首先，我们任选一个顶点 v，将其加入当前独立集中。然后，我们对 v 所有的邻居进行遍历，将它们从图中移除，并记录它们的度数（即与其他顶点相连的边数）。接下来，我们选取度数最小的顶点 u，将其加入独立集中，并将它的邻居从图中移除。重复这个过程，直到限制条件满足。

代码实现

以下是 Python 语言的代码实现：

from typing import List

def split_undirected_graph(n: int, edges: List[List[int]]) -> List[List[int]]:
    adj = [[] for _ in range(n)]
    for u, v in edges:
        adj[u].append(v)
        adj[v].append(u)

    ans = []
    vis = [False] * n
    while True:
        cur = []
        for i in range(n):
            if not vis[i]:
                cur.append((len(adj[i]), i))
        if not cur:
            break
        _, x = min(cur)
        vis[x] = True
        part = [x]
        for y in adj[x]:
            vis[y] = True
        for i in range(n):
            if not vis[i]:
                ok = True
                for j in adj[i]:
                    if not vis[j]:
                        ok = False
                        break
                if ok:
                    part.append(i)
                    for j in adj[i]:
                        vis[j] = True
        ans.append(part)

    return ans

这个实现中，我们首先将边列表转换成邻接表的形式。然后，我们使用一个数组 vis 记录顶点是否已经被访问过。每次从未访问过的顶点中选取度数最小的一个，加入当前的独立集合中。然后，我们将其所有的邻居添加到已访问列表中。接下来，我们再次遍历未访问的顶点，将其添加到当前的集合中。这个过程会一直持续，直到所有的顶点都被访问完毕为止。

总结

无向图分裂是一个常见的图论问题，在计算机科学中有着广泛的应用。特别是在数对问题中，它可以帮助我们在图中找到满足一定条件的子集，例如最大匹配、最小点覆盖等。此外，无向图分裂也可以用来解决图像分割、社区发现等领域中的问题。