内切圆的正方形内切六边形的面积

内切圆的正方形内切六边形是一种非常有趣的几何形体，其面积计算方法也有相应的公式。下面我们来谈一谈如何计算内切圆的正方形内切六边形的面积。

1. 内切圆的正方形内切六边形的定义

内切圆的正方形内切六边形是指在一个正方形内部画一个内切圆，在内切圆的周围再画一个六边形，这个六边形的六个顶点正好位于正方形的每个顶点和中点处。如下图所示：

2. 公式推导过程

假设内切圆的半径为 $r$，则内切圆的直径为 $d=2r$。内部正方形的边长为 $a$。则可以通过勾股定理得出：

$a^2+a^2=(2r)^2$

化简可得：

$a=\sqrt{2}r$

因此，内切圆的正方形的面积为：

$S_{square}=a^2=2r^2$

内切圆的正方形内切六边形中，六个小三角形的面积相等，可以认为这六个小三角形的面积之和等于正六边形的面积。因此，在正六边形中连接一个中心点和每个顶点，可以将原来的正六边形分成六个小三角形。如下图所示：

由于小三角形是等边三角形，因此可以通过正弦定理得到小三角形的高为：

$h=\frac{\sqrt{3}}{2}r$

每个小三角形的底边长为：

$l=\frac{a}{2}=r\sqrt{2}/2$

因此，每个小三角形的面积为：

$S_{triangle}=l \times h /2 = \frac{r^2\sqrt{3}}{4}$

由于小三角形有六个，因此正六边形的面积为：

$S_{hexagon}=6S_{triangle}=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$

3. 代码实现

import math

def area_of_inscribed_hexagon(r: float) -> float:
    """
    计算内切圆的正方形内切六边形的面积
    
    :param r: 内切圆的半径
    :return: 内切圆的正方形内切六边形的面积
    """
    a = math.sqrt(2) * r
    s_square = 2 * r**2
    s_triangle = r**2 * math.sqrt(3) / 4
    s_hexagon = 6 * s_triangle
    return s_hexagon

# 示例
r = 5
s = area_of_inscribed_hexagon(r)
print(f"内切圆的正方形内切六边形的面积为 {s:.2f}")

返回结果为：

内切圆的正方形内切六边形的面积为 64.95

4. 总结

内切圆的正方形内切六边形虽然在日常生活中并不常见，但是其面积的计算方法却是非常有趣的，同时也挑战了我们的几何思维。