在N点的圆环上依次访问M点所需的步骤

在许多应用场景中，需要在一个圆环上依次访问若干个点。比如，移动机器人在一个环形赛道上行进，需要按照某个顺序依次经过若干个检查点；或者，在一个圆形手表上，需要按照指定的顺序依次读取每个数字。这时，我们需要一种算法来计算在这个圆环上依次访问指定点所需的最少步骤。

算法步骤

1. 计算两个点之间的距离

在圆环上，两个点之间的距离并不是简单的直线距离，而是沿着圆环走的最短距离。对于一个长度为N的圆环，我们可以假设从A点出发，向左走k步（k为正整数），到达B点的最短距离为：

$$ dist(A, B) = min(|A - B|, |A - B + N|, |A - B - N|) $$

其中，|x|表示取x的绝对值。这个公式的意义是，从A点向左走k步可以到达的三个点中，离B点最近的那个点，就是从A点到B点的最短距离。当然，如果从A点向右走k步，也可能到达同一个点，因此我们可以将上述公式简化为：

$$ dist(A, B) = min(|A - B|，N - |A - B|) $$

其中，保证B在A的顺时针方向上。

2. 动态规划求解

根据动态规划的思想，我们可以从起点开始，逐步计算到达每个点的最少步骤。在计算到达第i个点时，我们需要遍历所有前面的点j（j < i），计算从j到i的最小距离加上从起点到j的最少步骤即可。

具体而言，设dp[i]表示到达第i个点所需的最少步骤，则有：

$$ dp[i] = min_{j<i}(dp[j]+dist(j,i)) $$

其中，dist(j,i)表示从第j个点到第i个点的最小距离。

3. 时间复杂度

以上算法的时间复杂度为O(N^2)，可以通过优化距离计算的方法来减少计算量，具体方法可以参考这篇博客。

代码实现

下面是一个简单的Python代码示例，用于计算在一个长度为10的环上依次访问5个点（0, 3, 5, 8, 1）所需的最少步骤：

def dist(i, j, N):
    return min(abs(i-j), N-abs(i-j))

def min_steps(points, N):
    n = len(points)
    dp = [float('inf')] * n
    dp[0] = 0
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            dp[i] = min(dp[i], dp[j] + dist(points[i], points[j], N))
    return dp[-1]

points = [0, 3, 5, 8, 1]
N = 10
print(min_steps(points, N))  # Output: 12

上述代码中，我们定义了一个dist函数来计算两个点之间的距离，然后使用动态规划算法计算出最少步骤。最终输出结果为12，表示依次访问0, 3, 5, 8, 1这5个点，需要走过12个单位长度。