最小化数组元素的按位异或与 1

问题描述

给定一个长度为n的整数数组，你可以对每个元素进行一次操作，使其变为它与1的按位异或值。

求最小化操作后的数组元素按位异或与的结果，并使得操作后的数组元素总和不小于给定的值K。

思路分析

我们可以从两方面考虑问题：如何最小化数组元素的按位异或与，以及如何使操作后的数组元素总和不小于给定的值K。

对于第一个问题，我们可以尝试贪心地考虑。我们将数组中所有元素看成二进制数的位，首先将所有位都变为0，然后从高位到低位依次考察每一位，如果更改该位可以使异或与的结果变小，那么就将该位变为1。例如，在一个由二进制数110和101组成的数组中，我们首先将数组中所有元素的第一位都变为0，此时异或与的结果为0；然后考虑第二位，将110变为100，101变为100，此时异或与的结果为1；最后考虑第三位，将110变为100，101变为101，此时异或与的结果为0。可以看出，我们可以通过贪心地考虑每一位来得到最优解。

对于第二个问题，我们可以使用二分法。我们可以设定一个目标值target，尝试将所有元素变为其与1的按位异或值，然后计算异或与的结果。如果异或与的结果小于target，那么我们将目标值右移；如果异或与的结果大于等于target，那么我们将目标值左移。当左右指针收敛时，得到的即为最小的目标值。这里需要注意的是，如果数组中所有元素都为0，那么我们无法通过操作得到一个非0的异或与结果，因此需要特殊处理。

代码实现

def minimize_xor_and_sum(nums: List[int], k: int) -> int:
    # 将所有元素看成二进制数的位
    bits = [[] for _ in range(32)]
    for num in nums:
        for i in range(32):
            bits[i].append(num >> i & 1)

    # 从高位到低位依次考虑每一位，贪心地变更
    ans = 0
    for i in range(31, -1, -1):
        cnt0, cnt1 = 0, 0
        for bit in bits[i]:
            if bit == 0:
                cnt0 += 1
            else:
                cnt1 += 1

        if cnt1 > cnt0:
            ans += cnt0 * (1 << i)
            for j in range(len(nums)):
                if bits[i][j] == 0:
                    nums[j] += 1 << i
        else:
            ans += cnt1 * (1 << i)
            for j in range(len(nums)):
                if bits[i][j] == 1:
                    nums[j] += 1 << i

    # 使用二分法确定目标值
    left, right = 0, max(nums)
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        xor_and = sum(num ^ mid for num in nums)
        if xor_and >= k:
            right = mid
        else:
            left = mid + 1

    if left == 0:
        return 0

    # 将数组中所有元素变为与1的按位异或值，得到操作后的数组元素总和
    ans = sum(left ^ num for num in nums)
    return ans

复杂度分析

时间复杂度：$O(n\log w)$，其中n为数组长度，w为一个整数的二进制位数。贪心地考虑每一位需要O(n)的时间复杂度，使用二分法的时间复杂度为O(log w)。因此总时间复杂度为O(nlog w)。

空间复杂度：$O(n)$。需要使用长度为n的列表存储所有元素的二进制数。