Cholesky分解

简介

Cholesky分解是一种将对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵和其转置矩阵的乘积的方法。它被广泛应用于线性代数、数值计算、概率论等领域。其主要优点是可以更快速地求解线性方程组，因为它不需要进行高斯消元。

原理

设A是一个对称正定矩阵，即A=A^T且x^TAx>0，其中x是任意非零向量，那么可以将A分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵L^T，使得A=L* L^T。

L是通过对A进行LUP分解，然后将U的对角线元素均变为1得到的下三角矩阵。具体可以通过以下步骤来求解：

1. 对A进行LUP分解，得到A=PLU，其中P是置换矩阵，L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。
2. 对L将所有对角线元素变为1，即将L的第i行除以L(i,i)得到L'。
3. 将L'的下三角部分清零，得到下三角矩阵L。

由于A是正定的，所以L的对角线元素必须是正数，因此可以使用平方根来确定L的每个元素，即L(i,j)=sqrt(A(i,j)-sum(L(i,k)^2))，其中k=1,2,...,j-1。

代码实现

以下是Python语言实现Cholesky分解的代码片段：

import numpy as np

def cholesky(A):
    n = A.shape[0]
    L = np.zeros((n, n))
    
    for i in range(n):
        for j in range(i+1):
            if j == i:
                L[i, j] = np.sqrt(A[i, i] - np.sum(L[i, :j]**2))
            else:
                L[i, j] = (A[i, j] - np.sum(L[i, :j]*L[j, :j])) / L[j, j]
                
    return L

代码中使用了numpy库来进行矩阵操作。函数cholesky的输入是一个对称正定矩阵A，输出是其Cholesky分解后的下三角矩阵L。

应用

Cholesky分解常常用于求解线性方程组和随机变量的模拟。对于一个协方差矩阵，根据Cholesky分解可以构造出一组独立的标准正态随机变量，从而可用于Monte Carlo模拟等统计计算中。

总结

Cholesky分解是一种求解对称正定矩阵的方法，它不需要进行高斯消元，计算速度更快。它的主要应用包括求解线性方程组，构造独立随机变量等。