子数组的异或（元素范围）| 2套

概述

本文介绍了如何求解子数组的异或（元素范围）问题，该问题包含两种不同的情况：元素范围有限和元素范围无限。对于每种情况，本文都提供了一种解决方案。

子数组的异或（元素范围有限）

问题描述

给定一个长度为 n 的整数数组 arr 和两个整数 l 和 r（0 <= l <= r < n），求 arr 中所有长度为 k（l <= k <= r）的子数组的异或和 mod 109+7 的结果。

元素范围有限，也就是说数组中的所有元素都介于 0 和 m 之间（0 <= arr[i] <= m）。

解决方案

我们采用前缀异或的方式来求解。具体地，我们先计算出数组 arr 的前缀异或数组 preXor，然后对于每个长度为 k 的子数组，我们可以利用 preXor 的性质来求出它的异或和。

假设要求长度为 k 的子数组的异或和，则该子数组的区间起始位置可以取值为 l 到 n-k，因为如果起始位置超过了 n-k，则该子数组的长度已经小于 k，因此无论如何都无法构成合法的子数组。对于每个起始位置 i，我们可以求出该子数组的异或和 si，即：

si = preXor[i]^preXor[i+k]

最终的答案就是所有 si 的和，即：

ans = sum(si), i=l..n-k

下面是该算法的 Python 代码：

def solve(arr, l, r, m):
    MOD = 10**9 + 7
    n = len(arr)
    preXor = [0]*(n+1)
    for i in range(1, n+1):
        preXor[i] = preXor[i-1]^arr[i-1]
    ans = 0
    for k in range(l, r+1):
        for i in range(n-k+1):
            si = preXor[i]^preXor[i+k]
            ans = (ans + si)%MOD
    return ans

该算法的时间复杂度为 O(nlogm+(r-l+1)n)，其中 nlogm 是计算前缀异或数组的时间复杂度，(r-l+1)n 是枚举子数组的时间复杂度。当 m 比较大时，该算法可能会超时或者空间不足。

子数组的异或（元素范围无限）

问题描述

给定一个长度为 n 的整数数组 arr 和两个整数 l 和 r（0 <= l <= r < n），求 arr 中所有长度为 k（l <= k <= r）的子数组的异或和的结果。

元素范围无限，也就是说数组中的元素可以是任意整数。

解决方案

对于该问题，我们可以采用计数的方式来求解。具体地，我们对于每个 i (0 <= i < n)，记录下 arr[0]^arr[1]^...^arr[i] 的异或值，记为 preXor[i]。然后我们对于每个长度为 k 的子数组，枚举其区间起始位置 i (l <= i <= n-k)，然后利用 preXor 数组计算该子数组的异或和 si。注意到如果区间 [i,i+k-1] 中有相同的元素，那么这些元素的异或值为 0，因此我们需要额外记录值为 0 的元素的数量。

具体地，对于长度为 k 的子数组 [i,i+k-1]，我们可以利用 preXor 数组计算其异或和 si：

si = preXor[i-1]^preXor[i+k-1]^cnt[preXor[i-1]^preXor[i+k-1]]

其中，cnt[x] 表示数组 arr 中值为 x 的元素的数量。如果 preXor[i-1]^preXor[i+k-1] 等于 0，则需要减去值为 0 的元素的数量 cnt[0]。

最终的答案就是所有 si 的和，即：

ans = sum(si), i=l..n-k

下面是该算法的 Python 代码：

def solve(arr, l, r):
    n = len(arr)
    preXor = [0]*(n+1)
    cnt = defaultdict(int)
    ans = 0
    for i in range(1, n+1):
        preXor[i] = preXor[i-1]^arr[i-1]
        ans += cnt[preXor[i]]
        cnt[preXor[i]] += 1
    cnt = defaultdict(int)
    for k in range(l, r+1):
        for i in range(n-k+1):
            x = preXor[i+k]^preXor[i-1]
            if x == 0:
                ans += cnt[0]
            ans += cnt[x]
            cnt[x] += 1
    return ans

该算法的时间复杂度为 O(n(r-l+1))，其中 n 是计算 preXor 数组的时间复杂度，(r-l+1)n 是枚举子数组的时间复杂度。当数组 arr 中的元素较大时，该算法可能会导致空间消耗过大。