子数组的XOR(元素范围)|套装2

介绍

在计算机科学中，XOR是一种位运算符，表示“互斥或”，经常用于加密和校验和算法中。在这个问题中，我们要求一个序列中所有子序列的异或值的范围，并找出出现最多的异或值次数。

解决方案

暴力法

最容易想到的方法是枚举所有子序列并计算它们的异或值。该方法的时间复杂度为O(n^3)，无法通过。

前缀异或法

我们可以使用前缀异或技术来优化暴力算法。使用前缀异或技术，我们可以计算任何两个数之间的异或值。因此，我们可以通过使用一个预处理的数组，存储从序列的第0个元素开始，每个位置异或值的结果。为了让它的区间异或值成为我们想要的形式，我们可以在i到j之间对前缀异或结果取异或。这样做时，我们可以在O(n^2)的时间内得到了所有子序列的异或值。

def prefix_xor(arr, n):
    prefix = [0] * n
    prefix[0] = arr[0]
    for i in range(1, n):
        prefix[i] = prefix[i-1] ^ arr[i]
    return prefix

def find_xor_range(arr, n):
    prefix = prefix_xor(arr, n)
    max_xor = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            xor = prefix[j] ^ prefix[i-1] if i>0 else prefix[j]
            max_xor = max(max_xor, xor)
    return max_xor

字典树法

使用前缀异或技术能够有效地优化暴力算法，但时间复杂度仍然为O(n^2)，因此我们需要更好的方法。使用字典树可以通过在每一个位上逐一开出Trie实现对序列中的所有子序列进行归类。

在Trie结构中，每个节点都有值0和1，因此我们可以根据子序列的异或值的每一位来划分树中的节点。具体来说，我们在树的根节点处创建一个节点，其值为0。然后，我们依次处理序列中的每个元素。对于每个元素，我们从根节点开始寻找其在Trie中对应的节点。当在树中经过一个节点时，我们根据当前元素在该位置的二进制值来选择向左或向右遍历树。

用异或的方式合并和查找值和其他异或值非常方便。

class TrieNode:
    def __init__(self):
        self.left = None
        self.right = None
        self.count = 0

class Trie:
    def __init__(self):
        self.root = TrieNode()

    def insert(self, val):
        curr = self.root
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (val >> i) & 1
            if bit == 0:
                if not curr.left:
                    curr.left = TrieNode()
                curr = curr.left
            else:
                if not curr.right:
                    curr.right = TrieNode()
                curr = curr.right
            curr.count += 1

    def search(self, val):
        curr = self.root
        result = 0
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (val >> i) & 1
            if bit == 0:
                if curr.right and curr.right.count > 0:
                    curr = curr.right
                    result |= (1 << i)
                else:
                    curr = curr.left
            else:
                if curr.left and curr.left.count > 0:
                    curr = curr.left
                    result |= (1 << i)
                else:
                    curr = curr.right
        return result

这个算法的时间复杂度为O(nlog(max_element))。下面是我们的主函数。

def find_xor_range(arr, n):
    trie = Trie()
    trie.insert(0)
    prefix_xor = 0
    max_xor = 0
    for i in range(n):
        prefix_xor ^= arr[i]
        trie.insert(prefix_xor)
        ans = trie.search(prefix_xor)
        max_xor = max(max_xor, ans ^ prefix_xor)
    return max_xor

总结

子数组的XOR(元素范围)|套装2问题是一个经典问题，在实际应用中应用也很广泛。本文中，我们介绍了三种解决方案：暴力法，前缀异或法和字典树法。虽然暴力法简单，但其时间复杂度为O(n^3)，因此我们需要更好的解决方案。前缀异或法和字典树法都具有更优秀的时间复杂度。使用前缀异或法，我们可以在O(n^2)的时间内求出所有子序列的异或值。使用字典树法，我们可以在O(nlog(max_element))的时间内求出所有子序列的异或值。